फैक्टरिंग ट्रिनोमिअल्स

यह कैलकुलेटर आपको \(ax^2+bx+c\) फॉर्म के गुणनखंड त्रिपदों की अनुमति देगा। ध्यान दें कि यह एक बहुत ही विशिष्ट प्रकार का त्रिपद है जो अनिवार्य रूप से एक द्विघात अभिव्यक्ति से मेल खाता है।

एक बार जब आप एक वैध त्रिपद प्रदान कर देते हैं, तो आपको क्लिक करना होगा, आपको बस "गणना करें" बटन पर क्लिक करना होगा, और आपको गणना के सभी चरण प्रदान किए जाएंगे।

त्रिपदों के गुणनखंडन की समस्या एक अपेक्षाकृत सरल समस्या है, जो अंततः हमारी क्षमता पर निर्भर करती है द्विघात समीकरणों को हल करना , कम से कम उस प्रकार के त्रिपदों के लिए जिनसे हम निपट रहे हैं।

त्रिपद क्या है

त्रिपद, जैसा कि "त्रि" भाग इंगित करता है, तीन पदों वाला एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति है। तकनीकी रूप से, \(a+b+c\) जैसा कुछ एक त्रिपद है, बिल्कुल \(a\cdot b\cdot \ c\) के समान। लेकिन आमतौर पर ऐसा होता है कि हमारा मतलब योगात्मक त्रिपद से है, इसलिए बाद वाला इस श्रेणी में नहीं आएगा।

लेकिन इसके अलावा, हमारा तात्पर्य स्पष्ट रूप से \(d x^k\) रूप के बहुपद पदों से युक्त एक त्रिपद से है। अंतिम धारणा जो हम करेंगे वह यह है कि उच्चतम शक्ति दो से अधिक है, हम एक पद का गुणनखंड कर सकते हैं ताकि उच्चतम शक्ति 2 हो (यह अनुक्रमिक शक्तियों के साथ हमेशा संभव है)।

फिर, हम जिन त्रिपदों से निपट रहे हैं वे केवल रूप के भावों के वर्ग में सिमट गए हैं

\[ a x^2 + bx^2 + c \]

त्रिपदों का गुणनखंडन करने के चरण क्या हैं?

• स्टेप 1: ट्रिनोमियल को पहचानें, और सुनिश्चित करें कि यह उपरोक्त परिभाषा के अर्थ में ट्रिनोमियल होने की आवश्यकताओं को पूरा करता है
• चरण दो: यह मानते हुए कि उच्चतम डिग्री 2 है, पद \(a x^2 + bx^2 + c \) के रूप का है, इसलिए फिर गुणांक a, b, और c की पहचान करें
• चरण 3: द्विघात समीकरण \\(a x^2 + bx^2 + c = 0\\) को हल करें. मान लें कि \(\alpha\) और \(\beta\) मूल हैं, तो त्रिपद गुणनखंडन \(a(x-\alpha)(x-\beta)\) है
• चरण 4: यदि उच्चतम डिग्री 2 से बड़ी है, तो उच्चतम शक्ति का गुणनखंड करें, और चरण 2 पर वापस आएँ

अंततः, त्रिपद का गुणनखंड करने के कार्य का समाधान आपकी क्षमता पर निर्भर करता है फैक्टरिंग शर्तें बाहर और द्विघात समीकरणों को हल करें .

क्या हमारे पास त्रिपदों का उभयनिष्ठ गुणनखंड हो सकता है?

त्रिपदों की हमारी परिभाषा के आधार पर जिसे हम इस प्रक्रिया के लिए स्वीकार करना चाहते हैं, तकनीकी रूप से हाँ, हमारे पास एक सामान्य कारक हो सकता है, जिसे गुणनखंडित किया जा सकता है। दरअसल, इस कैलकुलेटर में त्रिपद को \(a x^2 + bx + c\) के रूप में माना जाता है, जिसमें सामान्य रूप से सामान्य गुणनखंड नहीं होते हैं।

लेकिन फिर, आप तर्क दे सकते हैं कि \(a x^4 + bx^3 + cx^2\) एक त्रिपद है जिसमें सामान्य गुणनखंड हैं, और आपका ऐसा कहना सही होगा।

होता यह है कि यदि हम \(a x^4 + bx^3 + cx^2 = x^2 (a x^2 + bx + c) \) जैसे किसी सामान्य कारक को निकाल सकते हैं, तो अंततः आप उस प्रकार के सबसे बुनियादी ट्रिनोमियल पर पहुँच जाते हैं जिसका उपयोग हम यहाँ कर रहे हैं।

क्या त्रिपद गुणनखंड और बहुपद गुणनखंड समान हैं?

अधिक सटीक रूप से, हम कह सकते हैं कि हमें एक त्रिपद मिलता है और हम इसका गुणनखंड करते हैं, हम एक कर रहे हैं बहुपदीय फैक्टरिंग एक द्विघात बहुपद का (यदि आवश्यक हो तो एक पद का गुणनखंड करने के बाद)।

बहुपद के बजाय त्रिपद के बारे में बात करने के पीछे का विचार उस अभिव्यक्ति की विशिष्ट संरचना पर जोर देना है, जिसमें हम 3 पद रखते हैं, एक सामान्य बहुपद के विपरीत जिसमें 3 से अधिक पद हो सकते हैं।

इस कैलकुलेटर का उपयोग क्यों करें और मेरे वैज्ञानिक कैलकुलेटर का नहीं?

मुख्य कारणों में से एक यह है कि चरणों वाला यह फैक्टरिंग कैलकुलेटर आपको समाधान तक पहुंचने के लिए किए जाने वाले प्रासंगिक कार्य दिखाएगा, जिसका अर्थ है कि आपको परिणाम क्यों मिला इसका औचित्य दिखाई देगा।

अगले अनुभाग में आप उत्तरों के साथ त्रिपदों के गुणनखंडन के उदाहरण देखेंगे, उनमें से एक द्विघात समीकरण सूत्र का उपयोग करता है, और दूसरा समूहीकरण द्वारा गुणनखंड करने के लिए एक मामूली-सी चाल का उपयोग करता है।

त्रिपद गुणनखंडन का उदाहरण

निम्नलिखित को कारक बनाएं: \(\frac{1}{6}x^2 + \frac{5}{6}x^3 - x^4\)

समाधान: ध्यान दें कि हम \(x^2\) को फ़ैक्टर कर सकते हैं

\[[\frac{1}{6}x^2 + \frac{5}{6}x^3 - x^4 = x^2 \left(\frac{1}{6} + \frac{5}{6}x - x^2\right)\]

और द्विघात भाग को आसानी से \(\frac{1}{6} + \frac{5}{6}x - x^2 = \left(x - \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{1}{3}\right)\) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है, जो निम्न की ओर ले जाता है:

\[\frac{1}{6}x^2 + \frac{5}{6}x^3 - x^4 = x^2 \left(\frac{1}{6} + \frac{5}{6}x - x^2\right) = x^2 \left(x - \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{1}{3}\right)\)\]

जो गणना का समापन करता है।

उदाहरण: त्रिपद कारक

निम्नलिखित त्रिपद \( x^2 + 2x + 3 \) के लिए गुणनखंड ज्ञात कीजिए।

समाधान: इस उदाहरण में हम दिखाते हैं कि यह सब द्विघात समीकरण सूत्र के बारे में नहीं है, और कभी-कभी आप समीकरण की संरचना के आधार पर कुछ शॉर्टकट ले सकते हैं। हम इसका उपयोग कर सकते हैं समूहीकरण द्वारा कारक इस उदाहरण में. नोटिस जो

\[ x^2 + 2x + 3 = x^2 + 3x -x + 3 \]

और पहले दो पदों को एक साथ और अंतिम दो पदों को एक साथ समूहीकृत करने पर हमें यह मिलता है:

\[ x^2 + 2x + 3 = x^2 + 3x -x + 3 = x(x+3) - (x+3) \]

लेकिन यह अंतिम पद x + 3 का गुणनखंड कर सकता है, इसलिए हमें यह मिलता है:

\[ x^2 + 2x + 3 = x^2 + 3x -x + 3 = x(x+3) - (x+3) = (x-1)(x+3)\]

जो गणना का समापन करता है।

अधिक उपयोगी द्विघात कैलकुलेटर

द्विघात भाव बीजगणित में वास्तव में महत्वपूर्ण हैं क्योंकि वे रैखिकता से सबसे सरल विचलन का प्रतिनिधित्व करते हैं, और इसका उपयोग मोटे तौर पर विभिन्न प्रकार की घटनाओं को मॉडल करने के लिए किया जाता है।

द्विघात कार्य इसमें विशिष्ट संरचनाएं हैं जो इसकी जड़ों को ढूंढना और दिलचस्प ज्यामितीय गुणों को ढूंढना वास्तव में आसान बनाती हैं, जैसे कि परबोला के शीर्ष . और अधिक, द्विघात सूत्र द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करना सभी बीजगणित में सबसे प्रतिष्ठित और प्रसिद्ध समीकरणों में से एक है