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代数方程

指示： 使用此计算器解代数方程,显示所有步骤。请键入要解的方程（键入单变量或双变量方程）。

代数方程

毫无疑问,方程是代数中需要注意的主要内容之一。本计算器将帮助您解决您提供的线性或非线性代数方程。

您只需键入或粘贴要解的方程然后点击 "求解 "按钮,就会显示出求解的所有步骤。

需要注意的是,并不是所有的代数方程都能轻松求解,有些方程甚至根本无法求解。当然,一些简单的例子如线性方程组或二次方程但也仅此而已。

任何不属于这些类别的问题都没有标准/直接的解决方法。这并不意味着你无法解决这些问题,而只是意味着没有解决的 "路线图"。

什么是代数方程？

代数方程,又称代数方程,是一个总称,指在代数学习中会遇到的各种数学方程。

它们包括琐碎的线性方程,如

\[\displaystyle \frac{1}{2} x + \frac{2}{3} = \frac{5}{6} \]

到更复杂的方程,如

\[\displaystyle \sin \left(\frac{1}{2} x^2 + x + 1 \right)= \frac{\sqrt{2}}{2} \]

无法用基本方法求解的方程,如

\[\displaystyle x e^x = \sin x \]

代数的基本方程/公式是什么？

还有很多,也许不胜枚举：

步骤1： 我们有不同类型的方程,如线性方程,二次方程和多项式方程
第2步： 除了等式（只有某些 x 值才满足这些等式）,我们还有不同的代数等式,它们对所有值都成立
第3步： 代数中的基本等式是二项式展开式 (a+b) ² = a ² + 2ab + b ² ,平方差：a ² - b ² = (a+b)(a-b),仅举几例

代数方程与等式的最大区别在于,等式是对所有输入值都成立的表达式,而方程只对选定的几个值成立。通常情况下,你会用等式来解方程式。

什么是基本代数方程？

线性方程是最基本的代数方程,有多种类型。例如,对于一个变量线性方程是。

\[\displaystyle a x + b = c \]

请注意,左边对应的 \(ax + b\)是一个线性函数。这类函数具有很强的几何解释性,因为它与几何线紧密相关,其中 \(a\) 对应于坡度和 \(b\) 到 Y-截距 .

代数方程有哪些用途

步骤1： 代数方程包含变量之间的关系。方程的求解通常会导致元素间相互作用的一个非常奇特的点
第2步： 通过使用方程,我们可以量化事物,并能具体谈论变量
第3步： 方程通常是成就大事的关键：平衡点,最大收益点,最小阻力点等。

因此,我们希望有方程。一个小问题是,方程可能很难求解。使用带步骤的方程求解器在处理我们不可避免地会发现的较难方程时,这一点至关重要。

代数中最常用的方程是什么？

这要看问的是谁。对有些人来说,最流行的等式是最简单的等式,毫无疑问就是线性方程。但如果你去问数学家,他们会告诉你不同的答案。

一些纯粹主义者会告诉你,这是代数中最常用的公式：

\[\displaystyle e^{-i \pi} + 1 = 0 \]

因为它使用了所有最重要的数学符号。观点,是吧？

例题线性方程

解下面的线性方程：\(2x + 3y = \frac{1}{6}\)

解决方案：我们需要求解下面给出的线性方程：

\[2x+3y=\frac{1}{6}\]

线性方程有两个变量,分别是 \(x\) 和 \(x\),因此目标是求解 \(x\)。

将 \(y\) 放在左侧,将 \(x\) 和常数放在右侧,我们得到

\[\displaystyle 3y = -2x + \frac{1}{6}\]

现在,用方程两边除以 \(3\),求解 \(y\),得到如下结果

\[\displaystyle y=-\frac{2}{3}x+\frac{\frac{1}{6}}{3}\]

并简化我们最终得到以下

\[\displaystyle y=-\frac{2}{3}x+\frac{1}{18}\]

因此,对给定的线性方程求解 \(x\) 就会得到 \(y=-\frac{2}{3}x+\frac{1}{18}\)。

例题一元二次方程

解下面的一元二次方程：\(2x^2 + \frac{5}{4}x - \frac{1}{6} = 0\)

解决方案：我们需要求解下面给出的多项式方程：

\[2x^2+\frac{5}{4}x-\frac{1}{6}=0\]

我们需要求解的方程只有一个变量,即 \(x\),因此目标是求解它。

请注意,给定多项式的阶数为 \(\displaystyle deg(p) = 2\),前导系数为 \(\displaystyle a_{2} = 2\),常数系数为 \(\displaystyle a_0 = -\frac{1}{6}\)。

我们需要解下面给出的一元二次方程 \(\displaystyle 2x^2+\frac{5}{4}x-\frac{1}{6}=0\)。

使用二次方程

对于形式为 \(a x^2 + bx + c = 0\) 的一元二次方程,根的计算公式如下：

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

在这种情况下,我们需要求解的方程是 \(\displaystyle 2x^2+\frac{5}{4}x-\frac{1}{6} = 0\),这意味着相应的系数是：

\[a = 2\] \[b = \frac{5}{4}\] \[c = -\frac{1}{6}\]

首先,我们将计算判别式以评估根的性质。判别式的计算方法是：。

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( \frac{5}{4}\right)^2 - 4 \cdot \left(2\right)\cdot \left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{139}{48}\]

因为在这种情况下,我们得到的判别式是 \(\Delta = \displaystyle \frac{139}{48} > 0\),是正值,所以我们知道方程有两个不同的实数根。

现在,将这些数值插入到根的公式中,我们可以得到。

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{-\frac{5}{4} \pm \sqrt{\left(\frac{5}{4}\right)^2-4\left(2\right)\left(-\frac{1}{6}\right)}}{2\cdot 2} = \displaystyle \frac{-\frac{5}{4} \pm \sqrt{\frac{139}{48}}}{4}\]

因此,我们发现。

\[ {x}_1 = -\frac{\frac{5}{4}}{4}-\frac{1}{4}\sqrt{\frac{139}{48}}=\frac{-5}{4\cdot 4}-\frac{1}{4}\sqrt{\frac{139}{48}}=-\frac{5}{16}-\frac{1}{4}\sqrt{\frac{139}{48}}=-\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}-\frac{5}{16} \] \[{x}_2 = -\frac{\frac{5}{4}}{4}+\frac{1}{4}\sqrt{\frac{139}{48}}=\frac{-5}{4\cdot 4}+\frac{1}{4}\sqrt{\frac{139}{48}}=-\frac{5}{16}+\frac{1}{4}\sqrt{\frac{139}{48}}=\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}-\frac{5}{16}\]

在这种情况下,一元二次方程 \( \displaystyle 2x^2+\frac{5}{4}x-\frac{1}{6} = 0 \),有两个实数根,所以：

\[\displaystyle 2x^2+\frac{5}{4}x-\frac{1}{6} = 2 \left(x+\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}+\frac{5}{16}\right)\left(x-\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}+\frac{5}{16}\right)\]

这样,原多项式就被因子化为 \(\displaystyle p(x) = 2x^2+\frac{5}{4}x-\frac{1}{6} = 2 \left(x+\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}+\frac{5}{16}\right)\left(x-\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}+\frac{5}{16}\right) \),从而完成了因子化。

总结 :因此,我们得到的最终因式分解是。

\[\displaystyle p(x) = 2x^2+\frac{5}{4}x-\frac{1}{6} = 2 \left(x+\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}+\frac{5}{16}\right)\left(x-\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}+\frac{5}{16}\right)\]

利用因式分解过程找到的根是 \(-\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}-\frac{5}{16}\) 和 \(\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}-\frac{5}{16}\) 。

因此,对给定的多项式方程求解 \(x\),就可以利用因式分解数学公式求出 \(x = \, \)\(-\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}-\frac{5}{16}\), \(\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}-\frac{5}{16}\)。