平均响应的置信区间

在 线性回归 对应于针对给定值 \(X = X_0\) 计算的平均预测响应 \(\mu_{Y|X_0}\) 的置信区间。

因此,这个置信区间为我们提供了一个可信的集合,我们期望在其中找到固定预测值 \(X = X_0\) 的平均响应 \(Y\)

如何计算这个置信区间

首先,我们需要知道均方误差（\(\hat{\sigma}^2\)）,使用以下公式：

\[\hat{\sigma}^2 = \displaystyle \frac{SSE}{n-2}\]

均方误差是一种标准误差,它为您提供在\(X = X_0\) 处评估的不同时间的响应变量的变化,并用作置信区间的基础。

换句话说,这个标准误差与 标准差 上演 计算平均值的置信区间 \(\mu\)。

置信区间公式 平均响应公式

好的,现在我们已经有了所需的一切,因此我们进入置信区间公式：基于此信息,平均响应 \(\mu_{Y|X_0}\) 的 \(1-\alpha)\times 100 \)% 置信区间由下式给出

\[CI = \displaystyle \left( \hat\mu_{Y|X_0} - t_{\alpha/2; n-2} \sqrt{ \hat{\sigma}^2 \left(\frac{1}{n} + \frac{\left(X_0 - \bar X\right)^2}{SS_{XX}}\right) }, \hat\mu_{Y|X_0} + t_{\alpha/2; n-2} \sqrt{ \hat{\sigma}^2 \left(\frac{1}{n} + \frac{\left(X_0 - \bar X\right)^2}{SS_{XX}}\right) } \right)\]

与大多数置信区间（但不是全部）的情况一样,该区间围绕中心点对称,在本例中,中心点是实际的 预测的 Y 值 对于\(X = X_0\)。

只需将 \(X = X_0\) 的值代入估计的回归模型即可找到置信区间的中心值。

更多回归计算器

值得注意的是,我们这里展示了如何计算回归预测平均响应的置信区间。如果您对预测本身的置信区间更感兴趣,请使用这个 回归预测的预测区间计算器 .

当然,如果我们谈论的是回归,你可以检查一下 线性回归计算器 对于只有一个预测变量的情况,或者这个 多元线性回归计算器 当你有许多预测变量时。

一个有趣的应用是 多项式回归 其中有一个因变量 Y 和一个预测变量 X,但实际上我们还使用 X 的幂作为预测变量,因此从技术上讲它是一个多元回归。

回归分析在统计学中非常重要,无论怎么强调它的重要性都不为过。现在,确保回归结果的有效性至关重要,因此强烈建议 分析回归残差 ,因为它们在评估回归假设是否得到满足时至关重要。