Решатели Алгебра

Общая форма окружности

Инструкции: Используйте этот дробный калькулятор для вычисления общей формы окружности, показывая все шаги. Пожалуйста, введите радиус и координаты центра в форму ниже.

Введите радиус (Например: 2, или любое положительное числовое выражение, например 1/3 и т.д.)

Введите x-координату центра (Например: 2, или любое числовое выражение, например 1/3 и т.д.)

Введите y-координату центра (Например: 2, или любое числовое выражение, например 1/3 и т.д.)

Подробнее об общей форме круга

Этот калькулятор позволит вам вычислить общую форму окружности, показывая все шаги. Все, что вам нужно указать, это радиус и центр окружности. Принимаются любые допустимые числовые выражения (например, 2, или дробь 3/4 и т.д.). Единственное ограничение - радиус должен быть положительным.

После предоставления достоверной информации, необходимой для определения круга, вы можете нажать кнопку "Рассчитать", и все этапы процесса будут показаны для вас.

Процесс часто бывает прямым: чтобы вычислить уравнение окружности вы начинаете с радиуса и центра и получаете стандартное уравнение окружности . Затем вы расширяете термины и получаете его в общей или расширенной форме.

Общая Форма Окружности

Какова общая форма формулы окружности?

Формула общего вида окружности - это то, о чем говорит название, она предполагает наличие общего квадратичного члена в x и y, с ограничением, что квадратичный коэффициент должен быть равен 1 (в противном случае, если он не один, но равен, можно разделить на него, но если они не равны, то это будет не окружность, а эллипс ). Формула выглядит следующим образом:

\[\displaystyle x^2 + y^2 + ax + by + c = 0 \]

Каковы этапы нахождения окружности общей формы?

  • Шаг 1: Определите предоставленную информацию. Если у вас есть радиус и центр, вы можете напрямую получить стандартную форму
  • Шаг 2: Когда у вас есть круг стандартной формы, просто разверните все термины и группируйте термин за термином
  • Шаг 3: Если коэффициенты умножения x^2 и y^2 не равны 1, посмотрите, одинаковы ли они. Если да, то разделите на него обе стороны уравнения. Если нет, то это не круг

Этот процесс на самом деле проще, чем идти в обратном направлении через Завершение квадрата . Здесь нужно просто расширить и сгруппировать.

Общее уравнение окружности и радиуса

Естественно, из общего круга форм вы можете проследить, как он восходит к круг стандартной формы и знать радиус и центр, но процесс может потребовать некоторой алгебраической работы.

Это действительно зависит от обстоятельств, не обязательно переходить от общей формы к стандартной. Обычно при решении уравнений нет необходимости в таком преобразовании, например.

Зачем использовать круги общей формы?

Конечно, окружности общей формы не скажут вам в мгновенном снимке радиус и центр, но, во-первых, общая форма - это типичный способ появления уравнений окружности в приложениях.

Таким образом, иногда вы просто будете использовать его для решения уравнений и, возможно, задач максимизации, и часто это все, что вам нужно знать об окружности, не проходя через знание радиус или центр.

Общее Уравнение Окружности

Пример: вычисление окружности общей формы

Вычислите уравнение окружности с центром (2, 3) и радиусом 2/3 в общем виде.

Решение:

Нам нужно найти стандартную форму окружности, где заданный радиус равен \(r = \displaystyle \frac{2}{3}\), а заданный центр - \((\displaystyle 2, 3)\).

Уравнение окружности в стандартной форме имеет следующую структуру:

\[\displaystyle (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2 \]

где \(x_0\) и \(y_0\) - соответствующие координаты x и y центра, а \(r\) - радиус. Таким образом, для полного определения стандартной формы окружности нам нужно лишь четко определить центр и радиус и подставить их в приведенную выше формулу.

В данном случае из предоставленной информации мы уже знаем, что \(x_0 = \displaystyle 2\) и \(y_0 = \displaystyle 3\), и \(r = \frac{2}{3}\). Подставляя эти данные, получаем:

\[\displaystyle (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2 \] \[\Rightarrow \displaystyle \left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2=\left(\frac{2}{3}\right)^2 \] \[\Rightarrow \displaystyle \left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2=\frac{4}{9} \]

Теперь переносим константу, находящуюся в правой части, в левую с отрицательным знаком и упрощаем. Получается следующее:

\( \displaystyle \left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2-\frac{4}{9}\)
We distribute the terms inside of the parentheses
\( = \,\,\)
\(\displaystyle x^2-2x-2x+2^2+\left(y-3\right)^2-\frac{4}{9}\)
Grouping the numerical values and grouping the terms with \(x\)
\( = \,\,\)
\(\displaystyle x^2-4x+2^2+\left(y-3\right)^2-\frac{4}{9}\)
We reduce the integers that can be added together: \(\displaystyle 2^2 = 4\)
\( = \,\,\)
\(\displaystyle x^2-4x+4+\left(y-3\right)^2-\frac{4}{9}\)
By distributing the terms inside of the parentheses
\( = \,\,\)
\(\displaystyle x^2-4x+4+y^2-3y-3y+3^2-\frac{4}{9}\)
Grouping some of the numerical values and fractions and aggregating those terms with \(y\)
\( = \,\,\)
\(\displaystyle x^2+y^2-4x-6y+4+3^2-\frac{4}{9}\)
Reducing integers that can be added: \(\displaystyle 4+3^2 = 13\)
\( = \,\,\)
\(\displaystyle x^2+y^2-4x-6y+13-\frac{4}{9}\)
Grouping and operating all the integer terms and fractions: \(\displaystyle 13-\frac{ 4}{ 9}=13 \times \frac{ 9}{ 9}-\frac{ 4}{ 9}=\frac{ 13 \times 9-4}{ 9}=\frac{ 117-4}{ 9}=\frac{ 113}{ 9}\)
\( = \,\,\)
\(\displaystyle x^2+y^2-4x-6y+\frac{113}{9}\)

Таким образом, из приведенного выше упрощения находим, что уравнение окружности в общем виде имеет вид:

\[\displaystyle x^2+y^2-4x-6y+\frac{113}{9} = 0\]

На этом расчеты завершены. Мы выяснили, что уравнение окружности в стандартном виде равно \(\displaystyle \left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2=\frac{4}{9}\). Также было установлено, что общая форма окружности в данном случае - \(\displaystyle x^2+y^2-4x-6y+\frac{113}{9} = 0\)

Пример: калькулятор окружности общей формы

Найдите уравнение окружности в общем виде с центром в начале координат и радиусом r = 4.

Решение: We need to find the standard form of a circle first, where the provided radius is \(r = \displaystyle 4\), and the center that has been provided is \((\displaystyle 0, 0)\).

Уравнение окружности в стандартной форме имеет следующую структуру:

\[\displaystyle (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2 \]

где \(x_0\) и \(y_0\) - соответствующие координаты x и y центра, а \(r\) - радиус. Таким образом, для полного определения стандартной формы окружности нам нужно лишь четко определить центр и радиус и подставить их в приведенную выше формулу.

В данном случае из предоставленной информации мы уже знаем, что \(x_0 = \displaystyle 0\) и \(y_0 = \displaystyle 0\), и \(r = 4\). Подставляя эти данные, получаем:

\[\displaystyle (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2 \] \[\Rightarrow \displaystyle x^2+y^2=4^2 \] \[\Rightarrow \displaystyle x^2+y^2=16 \]

Теперь, перенося константу, находящуюся в правой части, в левую с отрицательным знаком, мы получаем непосредственно общую форму окружности:

\[\displaystyle x^2+y^2-16 = 0\]

На этом расчеты завершены. Мы выяснили, что уравнение окружности в стандартном виде равно \(\displaystyle x^2+y^2=16\). Также было установлено, что общая форма окружности в данном случае - \(\displaystyle x^2+y^2-16 = 0\).

Другие калькуляторы окружностей

Существует множество других калькуляторов окружностей, которые могут представлять интерес. Вы можете вычислить площадь круга и его окружность как самое основное свойство окружностей.

Также вы можете перейти от диаметра к окружности или от окружности к диаметру, в зависимости от того, какую информацию вы предоставили. Интересным фактом является то, что для многих вычислений окружности вам не нужно вычислить уравнение окружности .

Связанные калькуляторы

  • Вычислить площадь и периметр круга Вычислить площадь и периметр круга
  • Формула Окружности Формула Окружности
  • Калькулятор радиуса окружности Калькулятор радиуса окружности

    • Войдите в свою учетную запись

    забыл пароль?
    У вас нет учетной записи?
    зарегистрироваться

    Сброс пароля

    Вернуться к
    авторизоваться

    зарегистрироваться

    Back to
    Вернуться к