Подробнее об этом решателе системы уравнений

Этот калькулятор позволяет вычислить решение системы линейных уравнений при условии, что количество уравнений совпадает с количеством переменных, и вы можете определить систему до пяти переменных и пяти уравнений.

Решение системы уравнений может быть трудоемким и требует большого количества вычислений, особенно для больших систем.

Как решить систему уравнений

Существует несколько стратегий, но чаще всего используются следующие:

• графический метод
• метод замены
• метод исключения

Эти методы широко используются, особенно для системы 2x2 (это системы с 2 переменными и 2 уравнениями). Проблема с этими методами заключается в том, что они становятся громоздкими для больших систем.

А графический метод применим только для систем 2х2. Для больших систем можно использовать более систематические правила, такие как исключение Гаусса и Метод Крамера .

Существует несколько методов, которые можно использовать для вычисления решений систем линейных уравнений, но мы предпочитаем использовать Правило Крамера подход, так как это один из самых простых способов вспомнить расчет решений системы.

Как решить систему уравнений с помощью этого калькулятора

1. Определите размер системы (количество переменных и количество уравнений). Варианты: системы 2x2, 3x3, 4x4 и 5x5.
2. После того, как размер указан, вам нужно указать коэффициенты, связанные с каждой переменной.
3. Если коэффициент не используется, оставьте его пустым или введите 0
4. Нажмите "Рассчитать", и этот решатель покажет вам все шаги и решения.

Правило Крамера тесно связано с этим калькулятор решений системы уравнений с использованием матриц , так что вы также можете использовать этот маршрут.

Это решатель системы 5 уравнений?

Да, с помощью этого решателя вы можете получить решения систем, содержащих до 5 уравнений и 5 переменных. Методика для большего количества переменных и уравнений на самом деле не меняется, но ручные вычисления становятся очень длинными. Таким образом, для более чем 5 уравнений вы можете решить их с помощью компьютера.

Как решить систему уравнений с помощью этого решателя?

Шаг 1: Вам нужно указать систему уравнений, которую вы хотите решить, заполнив пропуски коэффициентами системы. Обратите внимание, что если в уравнении нет переменной, ее коэффициент должен быть равен нулю.

Шаг 2: Просто нажмите "Рассчитать", и этот решатель сделает все остальное. Сначала калькулятор найдет форму матрицы.

Шаг 3: Решатель вычислит определитель матрицы A. Если det(A) = 0, мы знаем, что система не будет иметь единственного решения.

Шаг 4: Калькулятор вычислит сопряженную матрицу.

Шаг 5: Решатель использует формулу правила Крамера для вычисления соответствующих решений:

\[x_j = \displaystyle \frac{\det(A^j) }{\det(A)}\]

Итак, как бы вы решили уравнение с 6 переменными?

Это был бы точно такой же подход, только вычисление сопряженной матрицы было бы потенциально очень трудоемким. Вам было бы лучше использовать CAS, такую как Mathematica или Matlab, чтобы получать решения, пропуская все шаг за шагом, что может быть слишком обширным.

Можно ли использовать Excel для решения системы уравнений?

Технически вы можете, используя некоторые специальные групповые функции, такие как "=MMULT", но обычно средний пользователь Excel обычно не знает, как это сделать.

Преимущество этого решателя системы уравнений с шагами заключается в том, что все, что вам нужно сделать, это указать Система уравнений вы хотите решить, используя визуально интуитивно понятный из. С этого момента все, что вам нужно сделать, это нажать "Рассчитать", чтобы получить пошаговый расчет.

Пример решения системы уравнений

Рассмотрим следующую систему уравнений

\[ \begin{aligned} 2 x&\, + \, &3 y&\, + \, & z & \, = \,3\\2 x&\, + \, &2 y&\, + \, &4 z & \, = \,1\\ x&\, + \, & y&\, + \, & z & \, = \,2 \end{aligned}\]

Решите приведенную выше систему, используя правило Крамера, показав все шаги.

Отвечать: Была предоставлена система линейных уравнений \(3 \times 3\).

Шаг 1: Найдите соответствующую матричную структуру

Первый шаг состоит в нахождении соответствующей матрицы \(A\) и вектора \(b\), которые позволяют записать систему в виде \(A x = b\).

В этом случае и исходя из коэффициентов приведенных уравнений получаем, что

\[ A = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

и

\[ b = \begin{bmatrix} \displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2 \end{bmatrix} \]

Шаг 2: вычислить определитель матрицы

Теперь нам нужно вычислить определитель \(A\), чтобы узнать, можем ли мы использовать правило Крамера:

По формуле субдетерминанта получаем:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) - 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) + 1 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( -2 \right) - 3 \cdot \left( -2 \right) + 1 \cdot \left( 0 \right) = 2\]

Поскольку \(\det(A) = \displaystyle 2 \ne 0\), мы заключаем, что матрица обратима, и мы можем продолжить использование правила Крамера.

Шаг 3: Расчет решений

Теперь нам нужно вычислить каждое из решений \(x_j\), используя формулу:

\[ x_j = \displaystyle \frac{\det(A^j)}{\det(A)}\]

где \(A^j\) точно соответствует матрице \(A\), за исключением того, что столбец j заменен на \(b\).

Для \(x\):

По формуле субдетерминанта получаем:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) - 3 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(4 \right) \right) + 1 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) \right)\] \[ = 3 \cdot \left( -2 \right) - 3 \cdot \left( -7 \right) + 1 \cdot \left( -3 \right) = 12\]

Теперь мы находим, что по формуле Крамера \(x\) вычисляется как

\[x = \displaystyle \frac{\det(A^{ 1}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle 12 }{ \displaystyle 2} = 6 \]

Для \(y\):

По формуле субдетерминанта получаем:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(4 \right) \right) - 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) + 1 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( -7 \right) - 3 \cdot \left( -2 \right) + 1 \cdot \left( 3 \right) = -5\]

Теперь мы находим, что по формуле Крамера \(y\) вычисляется как

\[y = \displaystyle \frac{\det(A^{ 2}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 1 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle -5 }{ \displaystyle 2} = -\frac{5}{2} \]

Для \(z\):

По формуле субдетерминанта получаем:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right) - 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right) + 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( 3 \right) - 3 \cdot \left( 3 \right) + 3 \cdot \left( 0 \right) = -3\]

Теперь мы находим, что по формуле Крамера \(z\) вычисляется как

\[z = \displaystyle \frac{\det(A^{ 3}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle -3 }{ \displaystyle 2} = -\frac{3}{2} \]

Следовательно, и резюмируя, решение

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle x\\\\\displaystyle y\\\\\displaystyle z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle 6\\\\\displaystyle -\frac{ 5}{ 2}\\\\\displaystyle -\frac{ 3}{ 2} \end{bmatrix} \]

что завершает вычисление решений для данной линейной системы.