Об этом калькулятор правила крамера

Решение систем линейных уравнений является одним из первостепенных объектов в алгебре. Это связано с тем, что многие различные приложения ведут непосредственно к решению таких систем.

Может быть, работая над текстовой задачей или назначая оптимальную диету солдатам в армии, вы наткнетесь на какую-то линейную систему.

И Правило Крамера является одним из наиболее распространенных подходов к решению больших системы линейных уравнений , особенно когда количество уравнений совпадает с количеством переменных.

Дело не в том, что правило Крамера упростит количество операций, необходимых для решения системы уравнений, его слава основана на том факте, что это правило легко запомнить.

Во-первых: как рассчитывается правило крамера?

Шаг 1: Чтобы правило Крамера сработало, вам нужно начать с системы уравнений, в которой количество уравнений равно числу переменных. Если это не так, остановитесь, вы не можете использовать правило Крамера.

Шаг 2: Определите систему уравнений в матричной форме: \(Ax = b\), где \(A\) — матрица \(n \times n\), содержащая коэффициенты, умножающие переменные, а \(A_{ij}\) — коэффициент, умножающий j ^й переменная в я ^й уравнения, а \(b\) представляет собой вектор размера \(n\), который собирает все правые части каждого из уравнений.

Шаг 3: Вычислить определитель матрицы \(A\). Если \(\det(A) = 0\), то система имеет более одного решения, и правило Крамера ничего другого сделать не может.

Шаг 4: Вы определяете связанную матрицу \(A^{j}\) так же, как матрица \(A\), за исключением того, что столбец j матрицы \(A\) заменен на \(b\).

Шаг 5: Если \(\det(A) \ne 0\), то существует единственное решение, и компоненты \(x_j\) с \(j = 1, 2, ..., n\) вычисляются как

\[x_j = \displaystyle \frac{\det(A^j) }{\det(A)}\]

Как выполнить правило крамера на калькуляторе?

Различные калькуляторы проведут за вас правило Крамера, но большинство не покажет вам шаги. Наш калькулятор проведет вас через все шаги, со всеми деталями.

Как решить матрицу 4x4 по правилу крамера?

Одна из причин, по которой правило Крамера так популярно, заключается в том, что его формулировка практически не меняется, если вообще меняется, для различных размеров систем.

В самом деле, выполнить правило Крамера для системы 4x4 ничуть не сложнее, чем для системы 2x2 (кроме того, что вычисление задействованных детерминант будет более трудоемким).

В конечном счете, независимо от размера системы, вы вычисляете решения в соответствии с

\[x_j = \displaystyle \frac{\det(A^j) }{\det(A)}\]

это означает, что вы берете исходную матрицу и заменяете столбец \(A\) на \(b\), вычисляете определители и находите их частное.

Как сделать калькулятор по правилу крамера для ax=b

Решение ax=b в этом контексте относится к решению \(Ax = b\) на матричном уровне. Таким образом, трюк для правильного использования правила Крамера состоит в том, чтобы правильно преобразовать данную систему уравнений в матричное уравнение вида \(Ax = b\).

Пример использования правила крамера

Вопрос: Была предоставлена следующая система линейных уравнений \(3 \times 3\):

\[ \begin{aligned} 2 x&\, + \, &3 y&\, + \, &4 z & \, = \,1\\2 x&\, + \, &3 y&\, + \, &2 z & \, = \,5\\ x&\, + \, &2 y&\, + \, &8 z & \, = \,2 \end{aligned}\]

Решите приведенную выше систему, используя правило Крамера, показав все шаги.

Решение:

Шаг 1: найдите соответствующую матричную структуру

Первый шаг состоит в нахождении соответствующей матрицы \(A\) и вектора \(b\), которые позволяют записать систему в виде \(A x = b\).

В этом случае и исходя из коэффициентов приведенных уравнений получаем, что

\[ A = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{bmatrix} \]

и

\[ b = \begin{bmatrix} \displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 5\\[0.6em]\displaystyle 2 \end{bmatrix} \]

Шаг 2: вычислить определитель матрицы

Теперь нам нужно вычислить определитель \(A\), чтобы узнать, можем ли мы использовать правило Крамера:

По формуле субдетерминанта получаем:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 3 \cdot \left( 8 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) \right) - 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 8 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) \right) + 4 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(3 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( 20 \right) - 3 \cdot \left( 14 \right) + 4 \cdot \left( 1 \right) = 2\]

Поскольку \(\det(A) = \displaystyle 2 \ne 0\), мы заключаем, что матрица обратима, и мы можем продолжить использование правила Крамера.

Шаг 3: расчет решений

Теперь нам нужно вычислить каждое из решений \(x_j\), используя формулу:

\[ x_j = \displaystyle \frac{\det(A^j)}{\det(A)}\]

где \(A^j\) точно соответствует матрице \(A\), за исключением того, что столбец j заменен на \(b\).

Для \(x\):

По формуле субдетерминанта получаем:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 5&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 3 \cdot \left( 8 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) \right) - 3 \cdot \left( 5 \cdot \left( 8 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) \right) + 4 \cdot \left( 5 \cdot \left( 2 \right) - 2 \cdot \left(3 \right) \right)\] \[ = 1 \cdot \left( 20 \right) - 3 \cdot \left( 36 \right) + 4 \cdot \left( 4 \right) = -72\]

Теперь мы находим, что по формуле Крамера \(x\) вычисляется как

\[x = \displaystyle \frac{\det(A^{ 1}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 5&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle -72 }{ \displaystyle 2} = -36 \]

Для \(y\):

По формуле субдетерминанта получаем:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 5&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 5 \cdot \left( 8 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) \right) - 1 \cdot \left( 2 \cdot \left( 8 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) \right) + 4 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(5 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( 36 \right) - 1 \cdot \left( 14 \right) + 4 \cdot \left( -1 \right) = 54\]

Теперь мы находим, что по формуле Крамера \(y\) вычисляется как

\[y = \displaystyle \frac{\det(A^{ 2}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 5&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle 54 }{ \displaystyle 2} = 27 \]

Для \(z\):

По формуле субдетерминанта получаем:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 5\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 3 \cdot \left( 2 \right) - 2 \cdot \left(5 \right) \right) - 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(5 \right) \right) + 1 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(3 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( -4 \right) - 3 \cdot \left( -1 \right) + 1 \cdot \left( 1 \right) = -4\]

Теперь мы находим, что по формуле Крамера \(z\) вычисляется как

\[z = \displaystyle \frac{\det(A^{ 3}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 5\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 2 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle -4 }{ \displaystyle 2} = -2 \]

Следовательно, и резюмируя, решение

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle x\\\\\displaystyle y\\\\\displaystyle z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle -36\\\\\displaystyle 27\\\\\displaystyle -2 \end{bmatrix} \]

что завершает вычисление решений для данной линейной системы.