Решение системы уравнений с использованием матриц

Решение систем линейных уравнений может быть одним из самых практических навыков, которые вы когда-либо изучали в алгебре или даже в математике в целом.

Причина этого в том, что бесчисленное множество реальных приложений, которые действительно полезны, решаются с помощью систем линейных уравнений.

Существует множество методологий решения систем, которые обычно используют разные подходы. Одним из распространенных подходов является матричный подход, который состоит в том, преобразование системы уравнений в матричную форму .

Как решить систему уравнений с помощью матриц?

Шаг 1: Преобразуйте линейные уравнения в матрицу, где вы идентифицируете \(A\) (матрица коэффициентов, которые умножают соответствующие) переменные и \(b\) (вектор коэффициентов правой части).

Шаг 2: Вычислите обратную матрицу \(A\), которую мы называем \(A^{-1}\).

Шаг 3: Решением системы является \(x = A^{-1} b\). Другими словами, вы умножаете инверсию \(A\) на \(b\), чтобы получить вектор с решениями.

Обратите внимание, что это кажется довольно простым, но для нахождения обратной \(A^{-1}\) требуется много вычислений, особенно если размер матрицы велик. Для 4x4 и выше это может стать довольно длинным.

Итак, как же решать системы на калькуляторе?

Детали различаются конкретно, в зависимости от каждого калькулятора. Каждая машина будет иметь свой формат и формат для ввода системы. В случае с нашим калькулятором вы получаете наглядную визуальную панораму коэффициентов, которые необходимо заполнить для уточнения системы. После этого калькулятор покажет вам все соответствующие шаги.

Что такое совместность системы линейных уравнений

Непротиворечивость означает, что уравнение не приводит к чему-то невозможному, например, "2 = 3". Как правило, прежде чем пытаться решить систему, если у вас одинаковое количество уравнений и переменных, вы сначала вычисляете определитель матрицы.

Если определитель отличен от нуля, то вы можете смело приступать к вычислению обратного, и вам гарантируется, что в системе нет никакой несогласованности.

Что делать, если матрица не возведена в квадрат: исключение гаусса

Этот метод решения системы путем вычисления обратной матрицы коэффициентов A и умножения ее на b работает только тогда, когда количество переменных совпадает с количеством уравнений. Если это не так, то целесообразно использовать исключение Гаусса.

Пример

Рассмотрим следующую систему уравнений:

\[ \begin{aligned} 2 x&\, + \, & y&\, + \, &2 z & \, = \,1\\ x&\, + \, & y&\, + \, & z & \, = \,2\\ x&\, + \, & y&\, + \, &2 z & \, = \,3 \end{aligned}\]

Решите приведенную выше систему с помощью матриц.

Отвечать: Была предоставлена система линейных уравнений \(3 \times 3\), и нам нужно решить эту систему с помощью матриц.

Шаг 1: найдите соответствующую матричную структуру

Первый шаг состоит в нахождении соответствующей матрицы \(A\) и вектора \(b\), которые позволяют записать систему в виде \(A x = b\).

В этом случае и исходя из коэффициентов приведенных уравнений получаем, что

\[ A = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{bmatrix} \]

и

\[ b = \begin{bmatrix} \displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 3 \end{bmatrix} \]

Шаг 2: вычислить определитель матрицы

Теперь нам нужно вычислить определитель \(A\), чтобы узнать, можем ли мы вычислить обратную матрицу \(A\):

По формуле субдетерминанта получаем:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right) - 1 \cdot \left( 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right) + 2 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left( 1 \right) + 2 \cdot \left( 0 \right) = 1\]

Так как \(\det(A) = \displaystyle 1 \ne 0\), мы заключаем, что матрица обратима, и мы можем продолжить вычисление обратной.

Шаг 3: вычисление обратного

Теперь вычисляем матрицу миноров. Имеем, что по определению матрица миноров \(M\) определяется формулой

\[ M_{ij} = \det A^{i,j}\]

где в данном случае \( A^{i,j}\) — это матрица \(A\) после удаления строки \(i\) и столбца \(j\).

Следовательно, и на основе матрицы \(A\) при условии, что мы получаем следующие коэффициенты матрицы миноров:

Для \(A^{ 1, 1}\):

\[M_{ 1 1} = \det A^{ 1 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Для \(A^{ 1, 2}\):

\[M_{ 1 2} = \det A^{ 1 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Для \(A^{ 1, 3}\):

\[M_{ 1 3} = \det A^{ 1 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 0\]

Для \(A^{ 2, 1}\):

\[M_{ 2 1} = \det A^{ 2 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = 0\]

Для \(A^{ 2, 2}\):

\[M_{ 2 2} = \det A^{ 2 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = 2\]

Для \(A^{ 2, 3}\):

\[M_{ 2 3} = \det A^{ 2 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Для \(A^{ 3, 1}\):

\[M_{ 3 1} = \det A^{ 3 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = -1\]

Для \(A^{ 3, 2}\):

\[M_{ 3 2} = \det A^{ 3 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = 0\]

Для \(A^{ 3, 3}\):

\[M_{ 3 3} = \det A^{ 3 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Подводя итог, матрица несовершеннолетних выглядит следующим образом:

\[M = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle 0&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

Теперь мы можем вычислить элементы матрицы кофакторов \(C\), используя формулу

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\]

Приведенную выше формулу можно использовать напрямую, поскольку миноры уже известны. Мы получаем

\[ C_{ 1 1} = (-1)^{ 1+1} \cdot 1 = (-1)^{ 2} \cdot 1 = 1\] \[C_{ 1 2} = (-1)^{ 1+2} \cdot 1 = (-1)^{ 3} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 1 3} = (-1)^{ 1+3} \cdot 0 = (-1)^{ 4} \cdot 0 = 0\] \[C_{ 2 1} = (-1)^{ 2+1} \cdot 0 = (-1)^{ 3} \cdot 0 = 0\] \[C_{ 2 2} = (-1)^{ 2+2} \cdot 2 = (-1)^{ 4} \cdot 2 = -2\] \[C_{ 2 3} = (-1)^{ 2+3} \cdot 1 = (-1)^{ 5} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 3 1} = (-1)^{ 3+1} \left(-1\right)= (-1)^{ 4} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 2} = (-1)^{ 3+2} \cdot 0 = (-1)^{ 5} \cdot 0 = 0\] \[C_{ 3 3} = (-1)^{ 3+3} \cdot 1 = (-1)^{ 6} \cdot 1 = -1\]

Следовательно, матрица кофакторов:

\[C = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle -1&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -2&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -1 \end{bmatrix} \]

Теперь нам нужно просто транспонировать матрицу кофакторов, которую мы нашли, чтобы вычислить сопряженную матрицу. Мы получаем:

\[adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle -1&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -2&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -1 \end{bmatrix} ^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -2&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -1&\displaystyle -1 \end{bmatrix} \]

Наконец, нам нужно умножить каждый компонент присоединенной матрицы на \(\displaystyle \frac{1}{\det(A)} = \frac{1}{1} = 1\), что не влияет на сопряженную. Итак, мы получаем:

\[A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -2&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -1&\displaystyle -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -2&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -1&\displaystyle -1 \end{bmatrix} \]

Шаг 4: расчет решений

Теперь, когда мы знаем обратную \(A^{-1}\), вектор решений вычисляется как:

\[ x = A^{-1} b = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -2&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -1&\displaystyle -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle 1\cdot 1+0\cdot 2+1\cdot 3\\[0.6em]\displaystyle -1\cdot 1+\left(-2\right)\cdot 2+0\cdot 3\\[0.6em]\displaystyle 0\cdot 1+\left(-1\right)\cdot 2+\left(-1\right)\cdot 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle -2\\\\\displaystyle 3\\\\\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

Следовательно, и резюмируя, вектор решения равен

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle x\\\\\displaystyle y\\\\\displaystyle z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle -2\\\\\displaystyle 3\\\\\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

что завершает вычисление решений для данной линейной системы.