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कोसाइन का नियम

निर्देश: इस कोसाइन नियम कैलकुलेटर का उपयोग करके त्रिभुज को पूरी तरह से हल करें, दो भुजाओं और एक कोण के लिए जो आप प्रदान करते हैं, सभी चरणों को दिखाते हुए। कृपया नीचे दिए गए फॉर्म बॉक्स में आवश्यक जानकारी टाइप करें।

इस पर अधिक जानकारी कोसाइन का नियम

यह कैलकुलेटर कोसाइन के नियम का उपयोग करके त्रिभुज को हल करने की अनुमति देता है। कैलकुलेटर को वह देने के लिए जिसकी उसे आवश्यकता है, आपको दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण प्रदान करना होगा।

आरंभ करने के लिए एक बार वैध जानकारी प्रदान कर देने के बाद, बस "गणना करें" पर क्लिक करें और गणना चरण प्रदर्शित हो जाएंगे।

कोसाइन का नियम क्या है?

कोसाइन का नियम एक मौलिक त्रिकोणमितीय पहचान है जिसका उपयोग किसी भी त्रिभुज में भुजाओं या कोणों की लंबाई ज्ञात करने के लिए किया जाता है, न कि केवल समकोण त्रिभुजों में। यह पाइथागोरस प्रमेय को इसके एक कोण के कोसाइन को शामिल करके सभी प्रकार के त्रिभुजों पर लागू करता है।

आप कोसाइन के नियम को एक सामान्यीकृत पाइथागोरस प्रमेय के रूप में देख सकते हैं, जो तब बिल्कुल वही रूप ले लेता है जब संगत कोण 90 डिग्री होता है, क्योंकि 90 डिग्री का कोसाइन शून्य होता है।

कोसाइन नियम के सूत्र को समझना

कोसाइन के नियम के तीन मुख्य सूत्र हैं, या यूं कहें कि सूत्र की तीन अलग-अलग अभिव्यक्तियाँ हैं, जिनमें से प्रत्येक त्रिभुज की एक भुजा के अनुरूप है:

\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)\)
\(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)\)
\(b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(B)\)

यहाँ, \(a\), \(b\), तथा \(c\) त्रिभुज की भुजाएँ हैं, तथा \(A\), \(B\), तथा \(C\) क्रमशः इन भुजाओं के विपरीत कोण हैं।

ध्यान दें कि आपने कोसाइन के नियम का एक संस्करण \(c^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cos(C)\) जैसा देखा होगा, लेकिन यह अधिक कोणों के लिए एक तरह का अनावश्यक उपकरण है। जब \(cos(C)\) का चिह्न सभी संभावित मामलों के लिए पूरी तरह से जिम्मेदार होता है, तो अलग-अलग मामलों में नियम को तोड़ना वास्तव में आवश्यक नहीं है।

कोसाइन के नियम का उपयोग कैसे करें

भुजा की गणना करने के चरण

कोसाइन नियम का उपयोग करके किसी भुजा की लंबाई ज्ञात करने के चरण इस प्रकार हैं:

अपने त्रिभुज में ज्ञात भुजाओं और कोणों को पहचानें। आपको दो भुजाओं और उन दो भुजाओं द्वारा बनाए गए कोण की आवश्यकता है।
वह सूत्र चुनें जिसमें वह भुजा शामिल हो जिसे आप ढूँढना चाहते हैं। चुने गए सूत्र में लुप्त भुजा बाईं ओर होगी
ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें।
अज्ञात पक्ष के लिए हल करें।

कोसाइन नियम का उपयोग कब करें?

कोसाइन का नियम विशेष रूप से तब उपयोगी होता है जब:

आप दो भुजाओं और उनके बीच का कोण जानते हैं ( एसएएस ).
आप तीनों भुजाएँ जानते हैं और आपको कोण ज्ञात करना है ( एसएसएस ).
यह त्रिभुज समकोण त्रिभुज नहीं है, और आपको इसकी एक भुजा या कोण ज्ञात करना है।

क्रिया में कोसाइन के नियम के उदाहरण

यहां कुछ व्यावहारिक उदाहरण दिए गए हैं जिन्हें आप हल कर सकते हैं:

उदाहरण 1: यदि \(a = 5\), \(b = 6\), तथा \(C = 60^\circ\) है, तो \(c\) ज्ञात कीजिए।
उदाहरण 2: \(a = 7\), \(b = 8\), तथा \(c = 9\) दिए गए हैं, कोण \(A\) ज्ञात कीजिए।

कोसाइन के नियम का प्रमाण

कोसाइन का नियम निम्न से प्राप्त किया जा सकता है पाइथागोरस प्रमेय एक त्रिभुज पर विचार करके, जिसके एक शीर्ष से ऊँचाई खींची गई है। यह इससे कहीं अधिक जटिल है, लेकिन इसका एक रेखाचित्र इस प्रकार है:

मूल त्रिभुज के अन्दर एक समकोण त्रिभुज की रचना कीजिए।
इस छोटे त्रिभुज पर पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करें।
कोण की कोज्या को त्रिभुज की भुजाओं से संबंधित करें।

कोसाइन के नियम की तुलना पाइथागोरस प्रमेय से करना

जबकि पाइथागोरस प्रमेय केवल समकोण त्रिभुजों पर लागू होता है, कोसाइन का नियम:

सभी त्रिभुजों के लिए कार्य करता है।
इसमें शामिल है कोण की कोज्या , जिससे यह अधिक बहुमुखी बन गया है।
इसका उपयोग कोण के साथ-साथ भुजाएँ ज्ञात करने के लिए भी किया जा सकता है।

कोसाइन नियम कैलकुलेटर का उपयोग करना

ऑनलाइन कैलकुलेटर इस प्रक्रिया को सरल बना सकते हैं, विशेष रूप से हमारा कैलकुलेटर जो प्रक्रिया के चरणों को दर्शाता है:

ज्ञात मान कैलकुलेटर में दर्ज करें।
वह भुजा या कोण चुनें जिसे आप ढूंढना चाहते हैं।
कैलकुलेटर कोसाइन नियम के सूत्र के आधार पर परिणाम प्रदान करेगा।

कोसाइन नियम के नियम क्या हैं?

कोसाइन नियम के नियमों में शामिल हैं:

यह किसी भी त्रिभुज पर लागू होता है, सिर्फ़ समकोण त्रिभुज पर नहीं। समकोण त्रिभुज का मामला कोसाइन के नियम का सबसे सरल मामला है।
किसी कोण की कोज्या -1 और 1 के बीच होनी चाहिए।
जब कोण 90 डिग्री होता है, तो सूत्र पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार सरल हो जाता है, क्योंकि कोसाइन भाग शून्य हो जाता है।

कौन सा समीकरण कोसाइन के नियम का प्रतिनिधित्व करता है?

कोसाइन के नियम को दर्शाने वाला एक भी समीकरण नहीं है। भुजा \(c\) के लिए कोसाइन के नियम को दर्शाने वाला समीकरण है:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)\]

दूसरी ओर, भुजा \(b\) के लिए कोसाइन नियम का प्रतिनिधित्व करने वाला समीकरण है:

\[b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(B)\]

और भुजा \(a\) के लिए कोसाइन के नियम को दर्शाने वाला समीकरण है:

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)\]

सरल शब्दों में कोसाइन नियम क्या है?

सरल शब्दों में, कोसाइन नियम यह बताता है कि त्रिभुज की एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग में से उन भुजाओं के गुणनफल के दोगुने को घटाकर तथा उसके बीच के कोण की कोसाइन के बराबर होता है।

त्रिभुजों को हल करने में कोसाइन का नियम किस प्रकार मदद करता है?

कोसाइन का नियम आपको इसकी अनुमति देता है:

जब आप दो भुजाओं और उनके बीच का कोण जानते हों, तो कोई भी भुजा ज्ञात करें, जैसा कि इस कैलकुलेटर के मामले में है।
जब आपको तीनों भुजाएँ पता हों, तो कोई भी कोण निर्धारित करें। आमतौर पर कोसाइन के नियम का उपयोग करते समय आप एक भुजा के लिए हल करते हैं, लेकिन कोण के लिए निश्चित रूप से हल कर सकते हैं।
गैर-समकोण त्रिभुजों में कोण या भुजाओं के लिए हल करें जहाँ पाइथागोरस प्रमेय लागू नहीं होता है। वास्तव में, गैर-समकोण त्रिभुज ही इसका मुख्य उपयोग है जो आप पाएंगे।

क्या कोसाइन नियम का प्रयोग किसी भी त्रिभुज के लिए किया जा सकता है?

हां, कोसाइन का नियम किसी भी त्रिभुज के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है, चाहे वह न्यूनकोण, समकोण या अधिककोण हो, जो इसे त्रिकोणमिति में एक बहुमुखी उपकरण बनाता है। आपके पास सममितियाँ हो सकती हैं या यह एक विषमकोण त्रिभुज हो सकता है, कोसाइन का नियम हमेशा लागू होता है।

कभी-कभी, कोसाइन का नियम त्रिभुज की पूरी गणना करने के लिए पर्याप्त नहीं होता है, और शायद साइन के नियम का उपयोग करने की आवश्यकता होती है (कोसाइन के नियम के बारे में सोचें)। एएएस त्रिकोण मामला)।