可逆矩阵计算器
指示： 使用此计算器来查找您提供的矩阵的逆矩阵,并逐步显示。首先,单击下面的按钮之一来指定矩阵的维度。
然后,单击第一个单元格并键入值,然后通过按"TAB"或单击相应的单元格在矩阵中移动,以定义所有矩阵值。
更多关于这个可逆矩阵计算器的步骤
矩阵逆的概念将出现在代数的许多上下文中。首先,对于矩阵,我们的想法是能够以与我们处理数字类似的方式来操作它们。而且其实有合理的 sum的运算 , 减法 和 矩阵乘法 .
但是矩阵的"除法"呢？例如,当我们有一个数字 3 时,我可以定义该数字的（乘法）倒数,我可以将其写为 \(3^{-1}\),或更常见的写为 \(\displaystyle \frac{1}{3}\)。
这个逆的一个关键特性是当乘以原始数字时,它给你 1,这就是 \(3 \cdot \displaystyle \frac{1}{3} = 1\)。
如何识别可逆矩阵
你如何定义矩阵的逆？
对于矩阵,"1"的作用由单位矩阵\(I\)扮演,给定一个矩阵\(A\),我们称\(A^{-1}\)是\(A\)的逆如果 \(A A^{-1} = I = A^{-1} A\)。
所以换句话说,给定矩阵 \(A\) 的逆矩阵是一个具有以下属性的矩阵 将该矩阵乘以原始矩阵 , 导致单位矩阵 I。
你如何计算逆矩阵？
有很多很多不同的方法来计算给定矩阵 \(A\) 的逆。最常用的方法之一是 伴随公式 ,它是基于去掉\(A\)的一行一列得到的一大堆子矩阵行列式的计算器。
请注意,此逆计算器还为您提供了使用高斯归约方法计算逆的选项,以 计算简化行梯形 的增广矩阵。
还有一种使用基本矩阵将初始 \(A\) 矩阵转换为单位矩阵的旋转方法,同时跟踪这些基本矩阵的乘法,结果证明是逆矩阵。
\[ E_1 E_2 \cdots E_k A = I \Rightarrow E_1 E_2 \cdots E_k = A^{-1}\]还有基于一些分解的可逆方法,最终,具有特定有用结构的矩阵可以更快地处理,使用专门的方法找到它们的逆,仅适用于某些结构。
逆矩阵的公式是什么？
使用伴随公式,我们发现矩阵 \(A\) 的逆公式为：
\[ A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} adj(A)\]乍一看,这看起来很简单！但是当矩阵的大小很大时,它就不是那么多了。实际上,上面的公式告诉您,为了找到逆矩阵,您需要计算矩阵的行列式,还需要计算伴随矩阵。
与外观可能暗示的不同,这可能是非常劳动密集型的,因为矩阵的大小很大（如 \(n > 4\)）。所以,我们有一个紧凑的公式是好的,但这并不一定意味着它不会是劳动密集型的。
如何反转 2x2 矩阵？
首先,您必须确保 \(\det(A) \ne 0\)。假设我们有一个 2x2 矩阵,我们将使用伴随公式。让
\[ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\]所以使用伴随公式我们会得到
\[ A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T\]对于一般的 2x2 矩阵 \(A\),它的行列式是
\[ \det(A) = ad - bc\]此外,辅因子矩阵是
\[ C = \begin{bmatrix} (-1)^{1+1} d & (-1)^{1+2} c \\\\ (-1)^{2+1} b & (-1)^{2+2} a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} d & -c \\\\ -b & a \end{bmatrix}\]所以现在,我们需要转置矩阵\(C\)：
\[ C^T = \begin{bmatrix} d & -c \\ -b & a \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\]所以最后,我们有逆公式：
\[ A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T = \displaystyle \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\]够简单吧？您想尝试 3x3 吗？
如何找到 3x3 矩阵的逆矩阵？
与所有矩阵一样,第一个要求是计算行列式并确保 \(\det(A) \ne 0\)。然后,我们需要回忆通用伴随公式
\[ A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T\]其中 \(C\) 是辅因子矩阵。如果你要明确地写这个,你会得到这样的东西：对于 \(A\) 一个通用的 3x3 矩阵：
\[ A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}\]我们会得到
\[ A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T\]对于一般的 3x3 矩阵 \(A\),它的行列式是
\[ \det(A) = a(e i - hf) - b(d i - g f) + c(d h - g e)\]此外,辅因子矩阵是
\[ C = \begin{bmatrix} (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} e & f\\\\ h& i \end{vmatrix} & (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} d & f\\\\ g & i \end{vmatrix} & (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} d & e\\\\ g & h \end{vmatrix} \\\\ (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} b & c \\\\ h & i \end{vmatrix} & (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} a & c\\\\ g & i \end{vmatrix} & (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} a & b\\\\ g & h \end{vmatrix} \\\\ (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} b & c\\\\ e & f \end{vmatrix} & (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} a & c\\\\ d& f \end{vmatrix} & (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} a & b\\\\ d & e \end{vmatrix} \end{bmatrix}\] \[ = \begin{bmatrix} ei-fh & - (di - gf) & dh - ge \\ - (bi - hc) & ai - gc & - (ah - gb) \\ bf - ec & - (af-dc) & ae - db \end{bmatrix}\] \[ = \begin{bmatrix} ei-fh & gf - di & dh - ge \\ hc - bi & ai - gc & gb - ah \\ bf - ec & dc - af & ae - db \end{bmatrix}\]所以现在,我们需要转置矩阵\(C\)：
\[ C^T = \begin{bmatrix} ei-fh & gf - di & dh - ge \\ hc - bi & ai - gc & gb - ah \\ bf - ec & dc - af & ae - db \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} ei - fh & hc - bi & bf - ec \\ gf - di & ai - gc & dc - af \\ dh - ge & gb - ah & ae - db \end{bmatrix}\]所以最后,我们有逆公式：
\[ A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T = \displaystyle \frac{1}{a(e i - hf) - b(d i - g f) + c(d h - g e))} \begin{bmatrix} ei - fh & hc - bi & bf - ec \\ gf - di & ai - gc & dc - af \\ dh - ge & gb - ah & ae - db \end{bmatrix} \]准备好记住了吗？当然不是。不是你必须,真的。这只是当您尝试获取简单 3x3 矩阵的通用公式时它变得多么复杂的一个预告片。它变得非常混乱,对 \(n > 3\) 来说毫无用处。
因此,应用一组步骤来求逆要实用得多：
计算逆矩阵的步骤是什么？
步骤1： 计算给定矩阵 A 的行列式。请注意,这可能会消耗大矩阵的计算量,因此请使用具有最多零的行/列来计算行列式。
第2步： 计算与矩阵 A 关联的辅因子矩阵。您需要逐个计算它,方法是计算通过删除第 i 行和第 j 列获得的子矩阵的行列式,乘以符号 \((-1)^{i+j}\)。同样在这里,在计算子行列式时,请确保选择具有最多零的行/列。
第 3 步： 一旦你有了原始矩阵和辅因子矩阵的行列式,将辅因子矩阵的每个分量除以行列式,最后的结果就是逆矩阵。
如何使用这个逆计算器
- 指定矩阵的大小
- 输入确定矩阵的数字
- 选择您喜欢用于计算逆的方法："伴随公式"或"缩减行梯形"
- 点击"计算逆"
示例：计算给定矩阵的逆矩阵
问题： 考虑以下矩阵：
\[A = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]使用伴随公式求其逆。
解决方案： 我们需要计算已提供的 \(3 \times 3\) 矩阵的逆矩阵。
第 1 步：计算矩阵的行列式
使用子行列式公式,我们得到：
\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) - 2 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) + 1 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right)\] \[ = 1 \cdot \left( -3 \right) - 2 \cdot \left( -2 \right) + 1 \cdot \left( 1 \right) = 2\]由于\(\det(A) = 2 \ne 0\),我们得出矩阵可逆的结论,我们可以继续计算给定矩阵\(A\)的逆。
第 2 步：计算辅因子矩阵
首先我们计算次要矩阵。我们有,根据定义,次要矩阵 \(M\) 由公式定义
\[ M_{ij} = \det A^{i,j}\]在这种情况下,\( A^{i,j}\) 是删除行 \(i\) 和列 \(j\) 之后的矩阵 \(A\)。
因此,基于矩阵\(A\),我们得到了minors矩阵的以下系数：
对于 \(A^{ 1, 1}\)：
\[M_{ 1 1} = \det A^{ 1 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) = -3\]对于 \(A^{ 1, 2}\)：
\[M_{ 1 2} = \det A^{ 1 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) = -2\]对于 \(A^{ 1, 3}\)：
\[M_{ 1 3} = \det A^{ 1 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]对于 \(A^{ 2, 1}\)：
\[M_{ 2 1} = \det A^{ 2 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]对于 \(A^{ 2, 2}\)：
\[M_{ 2 2} = \det A^{ 2 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 0\]对于 \(A^{ 2, 3}\)：
\[M_{ 2 3} = \det A^{ 2 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = -1\]对于 \(A^{ 3, 1}\)：
\[M_{ 3 1} = \det A^{ 3 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 4 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 4 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 7\]对于 \(A^{ 3, 2}\)：
\[M_{ 3 2} = \det A^{ 3 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 4 \right) - 2 \cdot \left(1 \right) = 2\]对于 \(A^{ 3, 3}\)：
\[M_{ 3 3} = \det A^{ 3 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) = -3\]总而言之,未成年人矩阵是：
\[M = \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle -2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle 7&\displaystyle 2&\displaystyle -3 \end{bmatrix} \]现在,我们可以使用公式计算辅因子矩阵 \(C\) 的元素
\[ C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\]上面的公式可以直接使用,因为未成年人已经知道了。我们得到
\[ C_{ 1 1} = (-1)^{ 1+1} \left(-3\right)= (-1)^{ 2} \left(-3\right) = -3\] \[C_{ 1 2} = (-1)^{ 1+2} \left(-2\right)= (-1)^{ 3} \left(-2\right) = 2\] \[C_{ 1 3} = (-1)^{ 1+3} \cdot 1 = (-1)^{ 4} \cdot 1 = 1\] \[C_{ 2 1} = (-1)^{ 2+1} \cdot 1 = (-1)^{ 3} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 2 2} = (-1)^{ 2+2} \cdot 0 = (-1)^{ 4} \cdot 0 = 0\] \[C_{ 2 3} = (-1)^{ 2+3} \left(-1\right)= (-1)^{ 5} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 1} = (-1)^{ 3+1} \cdot 7 = (-1)^{ 4} \cdot 7 = -7\] \[C_{ 3 2} = (-1)^{ 3+2} \cdot 2 = (-1)^{ 5} \cdot 2 = -2\] \[C_{ 3 3} = (-1)^{ 3+3} \left(-3\right)= (-1)^{ 6} \left(-3\right) = 3\]综上所述,辅因子矩阵为：
\[C = \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -7&\displaystyle -2&\displaystyle 3 \end{bmatrix} \]第 3 步：从辅因子矩阵计算伴随矩阵
现在,我们只需要转置我们找到的辅因子矩阵来计算伴随矩阵。我们得到：
\[adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -7&\displaystyle -2&\displaystyle 3 \end{bmatrix} ^T = \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle -1&\displaystyle -7\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 0&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 3 \end{bmatrix} \]第 4 步：从辅因子矩阵计算逆
最后,我们需要将 \(\displaystyle \frac{1}{\det(A)} = \frac{1}{2}\) 乘以伴随矩阵的每个分量。所以我们得到：
\[A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle -1&\displaystyle -7\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 0&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle \frac{1}{2}\times\left(-3\right)&\displaystyle \frac{1}{2}\times\left(-1\right)&\displaystyle \frac{1}{2}\times\left(-7\right)\\[0.6em]\displaystyle \frac{1}{2}\times2&\displaystyle \frac{1}{2}\times0&\displaystyle \frac{1}{2}\times\left(-2\right)\\[0.6em]\displaystyle \frac{1}{2}\times1&\displaystyle \frac{1}{2}\times1&\displaystyle \frac{1}{2}\times3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle -\frac{3}{2}&\displaystyle -\frac{1}{2}&\displaystyle -\frac{7}{2}\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle \frac{1}{2}&\displaystyle \frac{1}{2}&\displaystyle \frac{3}{2} \end{bmatrix} \]这结束了矩阵 \(A\) 的逆矩阵的计算。
