有关此伴随矩阵计算器的更多信息。

与辅因子一样,伴随矩阵与矩阵的逆矩阵紧密相关。实际上,逆矩阵和伴随矩阵非常相似。

平心而论,矩阵伴随的概念在高级数学中起着非常重要的作用（我们处理线性运算符而不是矩阵）。但是在大学数学中,你唯一可能会偶然发现伴随的时候是当你 计算矩阵的逆 使用伴随公式。

你如何找到矩阵的伴随？

首先,关于如何计算矩阵的伴随,让我们回顾一下 未成年人矩阵 这是通过计算通过删除给定矩阵 \(A\) 的第 i 行和第 j 列形成的子矩阵的行列式来计算的。

因此,未成年人被定义为：

\[ M_{ij} = \det A^{i,j}\]

如何获得辅因子矩阵？

这 辅因子矩阵 , \(C\) 是通过添加某些"符号"从小数中得到的,定义为：

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}\]

最后,你如何得到伴随矩阵？什么是伴随公式？

简单的！一旦你有了 计算辅因子矩阵 已经,你需要 转置矩阵 为了得到陪伴。具体来说：

\[ adj(A) = C^T \]

因此,为了更容易记住,我们将伴随公式分解为 3 个步骤：首先,计算次要矩阵,然后计算辅因子,然后转置辅因子以获得伴随。

伴随和转置是一样的吗？

尽管伴随矩阵涉及转置矩阵,但通常伴随矩阵和转置矩阵彼此不同。

您如何找到 4x4 或更大矩阵的伴随矩阵？

考虑到您需要计算 \(n^2\) 子行列式,它可以随着 \(n \ge 4\) 快速增长,寻找伴随词的过程可以在数值上扩展。

伴随矩阵计算示例

问题： 考虑以下矩阵

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{bmatrix}\]

计算相关的伴随矩阵 \(adj A\)。

解决方案：

我们需要计算已经提供的 \(3 \times 3\) 矩阵的伴随矩阵：

第 1 步：计算辅因子矩阵

首先我们计算次要矩阵。我们有,根据定义,次要矩阵 \(M\) 由公式定义

\[ M_{ij} = \det A^{i,j}\]

在这种情况下,\( A^{i,j}\) 是删除行 \(i\) 和列 \(j\) 之后的矩阵 \(A\)。

因此,基于矩阵\(A\),我们得到了minors矩阵的以下系数：

对于 \(A^{ 1, 1}\)：

\[M_{ 1 1} = \det A^{ 1 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 4 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 3\]

对于 \(A^{ 1, 2}\)：

\[M_{ 1 2} = \det A^{ 1 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

对于 \(A^{ 1, 3}\)：

\[M_{ 1 3} = \det A^{ 1 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) = -2\]

对于 \(A^{ 2, 1}\)：

\[M_{ 2 1} = \det A^{ 2 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 2\]

对于 \(A^{ 2, 2}\)：

\[M_{ 2 2} = \det A^{ 2 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

对于 \(A^{ 2, 3}\)：

\[M_{ 2 3} = \det A^{ 2 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(3 \right) = -1\]

对于 \(A^{ 3, 1}\)：

\[M_{ 3 1} = \det A^{ 3 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 4&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot \left( 1 \right) - 4 \cdot \left(1 \right) = -1\]

对于 \(A^{ 3, 2}\)：

\[M_{ 3 2} = \det A^{ 3 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(1 \right) = 0\]

对于 \(A^{ 3, 3}\)：

\[M_{ 3 3} = \det A^{ 3 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 4 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 4 \right) - 2 \cdot \left(3 \right) = 2\]

总而言之,未成年人矩阵是：

\[M = \begin{bmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 1&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle 0&\displaystyle 2 \end{bmatrix} \]

现在,我们可以使用公式计算辅因子矩阵 \(C\) 的元素

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\]

上面的公式可以直接使用,因为未成年人已经知道了。我们得到

\[ C_{ 1 1} = (-1)^{ 1+1} \cdot 3 = (-1)^{ 2} \cdot 3 = 3\] \[C_{ 1 2} = (-1)^{ 1+2} \cdot 1 = (-1)^{ 3} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 1 3} = (-1)^{ 1+3} \left(-2\right)= (-1)^{ 4} \left(-2\right) = -2\] \[C_{ 2 1} = (-1)^{ 2+1} \cdot 2 = (-1)^{ 3} \cdot 2 = -2\] \[C_{ 2 2} = (-1)^{ 2+2} \cdot 1 = (-1)^{ 4} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 2 3} = (-1)^{ 2+3} \left(-1\right)= (-1)^{ 5} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 1} = (-1)^{ 3+1} \left(-1\right)= (-1)^{ 4} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 2} = (-1)^{ 3+2} \cdot 0 = (-1)^{ 5} \cdot 0 = 0\] \[C_{ 3 3} = (-1)^{ 3+3} \cdot 2 = (-1)^{ 6} \cdot 2 = -2\]

综上所述,辅因子矩阵为：

\[C = \begin{bmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle -1&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle -2&\displaystyle -1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -2 \end{bmatrix} \]

第 2 步：从辅因子矩阵计算伴随矩阵

现在,我们只需要转置我们找到的辅因子矩阵来计算伴随矩阵。我们得到：

\[adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle -1&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle -2&\displaystyle -1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -2 \end{bmatrix} ^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle -2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -1&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle -2&\displaystyle 1&\displaystyle -2 \end{bmatrix} \]

伴随矩阵的计算到此结束。