矩阵 RREF 计算器

简化行梯形是线性代数中最有用的过程之一,它可以用于多种用途。

RREF 通常使用高斯消元法来实现。在应用方面,可采用缩排梯形 求解线性方程组 , 至 计算矩阵的逆 ,或找到有用的矩阵分解

什么是矩阵的rref？

行梯形的思想是通过使用可逆基本矩阵来系统地构造一个等价矩阵,从而得到行梯形,它是三角形的广义形式。

使用行缩减方法,我们可以得到一个矩阵成这个行梯形,使用 非零枢轴 .

RREF 的优势

• 此 RREF 计算器将矩阵简化为可用于多种用途的形式
• 例如,如果给定矩阵的最终 RREF 形式是 身份 , 这 矩阵是可逆的
• 增加原始矩阵,找到 RREF 形式允许使用基本矩阵构造逆
• 它提供了一个系统的方法 求解线性方程组 .

你如何计算减少的行梯形？

您可以使用多种不同的方法。但主要思想是使用非零枢轴来消除列中低于非零枢轴的所有值,该过程的基础称为高斯消除。

这种减少的关键要素之一是知道矩阵是否在 rref 中,因此我们在它存在时停止该过程。

应遵循以下步骤：

第1步 ：检查矩阵是否已经是缩减行梯形。如果是,那么停止,我们就完成了。

第2步 : 看第一栏。如果第一行中的值不为零,则将其用作枢轴。如果不是,请检查列中是否存在非零元素,并在必要时置换行,以使枢轴位于列的第一行。如果第一列为零,则向右移动到下一列,直到找到非零列。

第 3 步 ：使用枢轴消除枢轴下方的所有非零值。

第4步 ：将枢轴的值标准化为1。

第 5 步 ：使用枢轴消除枢轴上方的所有非零值。

第 6 步 : 之后,如果矩阵仍不是行梯形,则右移一列,下移一行,寻找下一个主元。

第 7 步 : 重复上述过程。寻找一个支点。如果在新的枢轴位置或下方没有元素不同于零,则向右查找在枢轴位置或下方具有非零元素的列,并在必要时置换行。然后,消除枢轴下方的值。

第 7 步 ：继续旋转过程,直到矩阵处于减少的行梯形形式。

你如何在计算器上计算减少的行梯队？

并非所有计算器都会进行 Gauss-Jordan 消除,但有些会。通常,您需要做的就是输入您想要以 RREF 形式输入的相应矩阵。

请注意,为了减少行梯形,您也需要在枢轴上方设置零。如果你不需要,你可以使用这个 行梯形计算器 ,它不会减少高于枢轴的值

这个计算器将允许您定义一个矩阵（使用任何类型的表达式,例如分数和根,而不仅仅是数字）,然后将显示如何到达最终简化行梯形的过程的所有步骤。

大多数计算器将使用基本行操作来进行计算,但我们的计算器会准确详细地向您显示每个步骤中使用了哪些基本矩阵。

您如何解决 RREF 解决方案

它在一定程度上取决于上下文,但一种方法是从方程的系统线性开始,以矩阵形式表示,在这种情况下,当通过右手边的值增加时,RREF 解决方案。

另一种选择是从一个矩阵开始,然后通过单位矩阵对其进行扩充,在这种情况下,RREF 解决方案将导致原始矩阵的逆矩阵。

缩排梯形示例

问题： 假设您有以下矩阵：

\[A = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 7&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

找到它的简化梯形,显示所有步骤和相应的基本矩阵。

解决方案： 提供的矩阵是一个 \(3 \times 3\) 矩阵。

我们需要找到这个矩阵的简化行梯形。

第1步 : 用于减少列 \(1\) 的操作：
\((1) - R_{ 1} + R_{ 2} \rightarrow R_{ 2}, \quad (2) - R_{ 1} + R_{ 3} \rightarrow R_{ 3}\)

\( \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 7&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle 0 \end{bmatrix} \)

第2步 : 用于减少列 \(1\) 的操作：
\((1) \frac{1}{2} R_{ 1}\)

\( \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle 0 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle \frac{3}{2}&\displaystyle \frac{1}{2}\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle 0 \end{bmatrix} \)

对于列\(2\),枢轴以下的所有元素都已经为零,所以我们不需要消除。

第 3 步 ：用于减少枢轴上方的列 \(2\) 的操作：
\((1) \frac{1}{4} R_{ 2}, \quad (2) -\frac{3}{2} R_{ 2} + R_{ 1} \rightarrow R_{ 1}\)

\( \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle \frac{3}{2}&\displaystyle \frac{1}{2}\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle 0 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle \frac{1}{8}\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 1&\displaystyle \frac{1}{4}\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle 0 \end{bmatrix} \)

第4步 ：对于列 \(3\) 我们没有找到枢轴,因为该列为零,因此我们移至下一列。

因此,我们得出结论,RREF 形式的矩阵是：

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle \frac{1}{8}\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 1&\displaystyle \frac{1}{4}\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle 0 \end{bmatrix} \]