更多关于无限几何级数

一个想法 无限的 系列一开始可能会令人费解。当我们理解系列的含义时,它并不一定很复杂。

无限级数只不过是无限和。换句话说,我们有一个无限的数字集,比如 \(a_1, a_2, ..., a_n, ....\),并将这些项相加,例如：

\[a_1 + a_2 + ... + a_n + ....\]

但是由于必须写出上面的表达式来清楚地表明我们正在对无限数量的项求和可能很乏味,所以我们使用符号,就像在数学中一样。一个无穷级数写成：

\[ a_1 + a_2 + ... + a_n + .... = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \]

这是表达我们的意思的更紧凑,更明确的方式。但是,无限和的想法有点令人困惑。我们所说的无穷大是什么意思？

这是一个很好的问题：对无限项求和的想法包括将某个项 \(N\) 相加,然后将该值 \(N\) 一直推到无穷大。因此,无限级数定义为

\[ a_1 + a_2 + ... + a_n + .... = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{N\to \infty} \sum_{n=1}^{N} a_n \]

所以确实,上面是一个无穷级数之和的正式定义。

几何级数有什么特别之处

通常,为了指定无限级数,您需要指定无限项。在几何级数的情况下,您只需要指定第一项 \(a\) 和常数比率 \(r\)。

等比数列的一般第n项是\(a_n = a r^{n-1}\),那么等比数列变成

\[ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} \]

一个重要的结果是上述级数收敛当且仅当 \(|r| < 1\)。在这种情况下,和的几何级数公式是

\[ S = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} = \frac{a}{1-r}\]

例子

例如,我们可以计算几何级数 \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, ....\) 的总和。在这种情况下,第一项是 \(a = 1\),常数比率是 \(r = \frac{1}{2}\)。那么,总和直接计算为：

\[ S = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-1/2} = \frac{1}{1/2} = 2\]

该系列发生了什么是 \(|r| > 1\)

简短的回答：系列发散。项变得太大,与几何增长一样,如果 \(|r| > 1\) 序列中的项将变得非常大并且会收敛到无穷大。

如果总和不是无穷大怎么办

在这种情况下,你需要使用这个 等比数列和计算器 ,其中您将有限数量的项相加。