解答者几何学

余弦定律

指示： 使用此余弦定理计算器完全求解三角形,给出两条边和一个角,并显示所有步骤。请在下面的表格框中输入所需信息。

余弦定律是什么？

余弦定理是三角恒等式的基本定理,用于求任意三角形（不仅限于直角三角形）边长或角长。它通过合并其中一个角的余弦值,将勾股定理扩展到所有类型的三角形。

您可以将余弦定律看作是广义的毕达哥拉斯定理,当对应角度为 90 度时,其形式完全相同,因为 90 度的余弦为零。

理解余弦定理公式

余弦定律有三个主要公式,或者更确切地说是该公式的三种不同表达形式,每个公式对应三角形的一边：

\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)\)
\(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)\)
\(b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(B)\)

这里,\(a\),\(b\),\(c\) 是三角形的边,\(A\),\(B\),\(C\) 分别是这些边的对角。

请注意,您可能见过余弦定理的一个版本,例如 \(c^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cos(C)\),但对于钝角来说,这是一种不必要的装置。当 \(cos(C)\) 的符号完美地解释了所有可能的情况时,真的没有必要用不同的情况来打破规则。

如何使用余弦定理

计算边长的步骤

以下是使用余弦定律求边长的步骤：

确定三角形中已知的边和角。你需要两条边和这两条边所形成的角。
选择包含您要查找的一侧的公式。所选公式的左侧将包含缺失的一侧
将已知值代入公式。
求解未知侧。

何时使用余弦定律？

余弦定律在下列情况下特别有用：

你知道两条边和夹角（ SAS ）。
你知道三条边,现在需要找到一个角度（南海）。
该三角形不是直角三角形,您需要找到一条边或一个角。

余弦定理的应用示例

以下是一些您可以解决的实际示例：

示例 1： 如果\(a = 5\),\(b = 6\) 和 \(C = 60^\circ\),则查找 \(c\)。
示例 2： 给定\(a = 7\),\(b = 8\) 和 \(c = 9\),求角度\(A\)。

余弦定理的证明

余弦定律可以通过毕达哥拉斯定理考虑一个三角形,其高从其一个顶点画出。它比这更复杂,但它的草图如下：

在原有三角形内构造一个直角三角形。
对这个较小的三角形使用勾股定理。
将角度的余弦与三角形的边联系起来。

余弦定律与勾股定理的比较

虽然勾股定理只适用于直角三角形,但余弦定律：

适用于所有三角形。
包含角度的余弦 ,使其用途更加广泛。
可用于寻找角度和边。

使用余弦定理计算器

在线计算器可以简化该过程,尤其是我们的计算器,它可以显示该过程的步骤：

将已知值输入计算器。
选择您想要查找的边或角度。
计算器将根据余弦定律公式提供结果。

余弦定律的规则是什么？

余弦定律的规则包括：

它适用于任何三角形,而不仅仅是直角三角形。直角三角形的情况是余弦定理最简单的情况。
角度的余弦必须介于 -1 和 1 之间。
当角度为 90 度时,该公式简化为勾股定理,因为余弦部分变为 0。

哪个方程代表余弦定律？

没有一个方程可以代表余弦定律。代表边 \(c\) 的余弦定律的方程是：

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)\]

另一方面,表示边 \(b\) 的余弦定律的方程是：

\[b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(B)\]

表示边 \(a\) 的余弦定律的方程是：

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)\]

简单来说,余弦定律是什么？

简单来说,余弦定理是指三角形一边的平方等于另外两边的平方和减去这两条边与夹角余弦的乘积的两倍。

余弦定律如何帮助解决三角形问题？

余弦定律可以让你：

当你知道两条边和夹角时,就可以找到任意一条边,就像这个计算器的情况一样。
知道三边即可确定任意角。通常使用余弦定理时,只需求出一边,但肯定可以求出角。
求解不适用勾股定理的非直角三角形的角或边。事实上,非直角三角形是勾股定理的主要用途。

余弦定律可以用于任何三角形吗？

是的,余弦定理可以用于任何三角形,无论是锐角,直角还是钝角,这使它成为三角学中的一种多功能工具。您可以有对称性,也可以将其变成不等边三角形,余弦定理始终适用。

有时,余弦定理不足以完全计算三角形,也许需要用到正弦定理（想想 AAS三角案件）。

余弦定律的三个公式是什么？

余弦定律的三个公式是：

\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)\)
\(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)\)
\(b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(B)\)

请注意,这些公式是基于选择任意边作为对边的。当你处理直角三角形时,情况会略有不同。

使用相关计算器进一步探索

了解余弦定律通过探索相关的三角学概念,可以大大增强你的计算能力。例如,如果你在计算中处理角度,你可能会发现双角公式对于简化表达式或解决涉及角度的方程很有用。

此外,我们可以通过以下方法可视化余弦在不同角度下的表现： Cos 图计算器,提供有助于理解函数的周期和振幅的图形表示。

在处理三角形时,了解边和角通常会导致更复杂的计算。我们的有两个角和一个对边的三角形计算器可以帮助您求解剩余的边和角,这在实际问题中应用余弦定理时特别有用。此外,对于更广泛的三角计算,我们的三角函数计算器提供一套全面的工具来处理各种三角恒等式和方程。