Калькулятор обратимой матрицы

Одним из центральных элементов линейной алгебры является понятие матрицы. Матрицы — это массивы чисел, организованные в строки и столбцы.

Операции с матрицами можно определить интуитивно, особенно когда вы суммируете или вычитаете матрицы, в результате чего все, что вам нужно делать, это складывать и вычитать компонент за компонентом.

Идея умножение матриц немного менее интуитивен для непосвященных, но, вы должны мне поверить, есть веские причины, по которым матричное умножение определено именно так.

Для чего вы используете обратную матрицу?

• Когда матрица обратима, вы можете вычислить ее обратную
• Вы можете использовать инверсию, чтобы свободно перемещать матрицу "на другую сторону уравнения".
• Это позволяет вам просто решить систему уравнений, нахождение обратной матрицы

Что является обратной матрицей?

Квадратные матрицы (то есть матрицы, имеющие одинаковое количество строк и столбцов) могут быть обратимыми или нет.

Обратимость матрицы \(A\) означает, что существует другая матрица \(B\) такая, что произведение \(A\) и \(B\) равно единичной матрице (специальной матрице с единицами в диагональ и нули вне диагонали).

Почему вас должно интересовать, обратима матрица или нет, спросите вы? Хороший вопрос. Когда матрица обратима, мы можем "перевести матрицу на другую сторону", точно так же, как в простом уравнении с числами.

В этом случае вы можете найти обратную матрицу и вы "передаете" обратную матрицу в другую часть уравнения

С практической точки зрения, если у вас есть матричное уравнение \( Ax = b \), а \(A\) обратимо, то уравнение имеет единственное решение, которое можно записать как \(x = A^{-1} b\), где \(A^{-1}\) является обратной матрицей A в предположении, что она существует.

Когда матрица обратима?

Существует множество способов определить, является ли матрица обратимой. Вы можете применять различные "тесты", чтобы определить, является ли матрица обратимой или нет. Выбранный вами тест иногда будет зависеть от структуры матрицы.

Один из часто используемых тестов для оценки того, является ли матрица обратимой, состоит в том, чтобы сначала вычислить определитель матрицы . Если определитель отличен от нуля, то матрица обратима. Но тогда, если он равен нулю, то матрица НЕ обратима. Довольно просто, да?

Является ли матрица обратимой 3x3? Как знать

Во-первых, поскольку матрица 3x3 является квадратной, она является кандидатом для проверки на обратимость (неквадратные матрицы сразу отбрасываются).

Все ли матрицы 2x2 обратимы?

Нисколько. Существует множество необратимых матриц 2x2. Например, матрица

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}\]

является простым примером необратимой матрицы 2x2.

Как узнать, обратима ли матрица без определителя?

Как мы уже говорили ранее, существует множество тестов для оценки того, является ли матрица обратимой, и не все методы используют определитель

Один из способов сделать это - использовать метод Гаусса (используя операцию элементарных матриц) для преобразовать матрицу в строчно-эшелонную форму , и как только это будет сделано, вы посмотрите на диагональ ступенчатой формы: если все диагонали отличны от нуля, то матрица обратима, и если ЛЮБОЙ элемент на диагонали ступенчатой формы равен нулю , то матрица необратима.

Пример: обратимость матрицы

Вопрос: Предположим, что у вас есть следующая матрица:

\[ \begin{bmatrix}2&1&2\\1&4&1\\2&1&3\end{bmatrix}\]

Отвечать: Нам нужно определить, является ли предоставленная матрица \(3 \times 3\) обратимой или нет.

Шаг 1: Используемый метод

Существует несколько способов определить, является ли матрица обратимой или нет. Метод, который мы будем использовать в этом случае, является методом определителя.

Проще говоря, мы будем вычислять определитель, и если определитель отличен от нуля, то матрица обратима, но равен нулю, то матрица необратима.

Шаг 2: Расчет определителя

По формуле субдетерминанта получаем:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 3 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 4 \cdot \left( 3 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right) - 1 \cdot \left( 1 \cdot \left( 3 \right) - 2 \cdot \left(1 \right) \right) + 2 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(4 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( 11 \right) - 1 \cdot \left( 1 \right) + 2 \cdot \left( -7 \right) = 7\]

Шаг 3: Заключение

Делаем вывод, что поскольку \(\det A = \displaystyle 7 \ne 0\), то данная матрица обратима.