Подробнее об этом калькуляторе определителя.

В линейной алгебре и при использовании матриц понятие определителя матрицы "XYZA" имеет глубочайшее значение.

Это связано с тем, что его использование связано почти со всеми важными операциями, которые вы захотите выполнять с матрицами, такими как проверка обратимости матриц, найти обратную матрицу или же решающие системы .

Итак, куда бы вы ни посмотрели по сторонам при работе с матрицами, вы так или иначе найдете определители. Поэтому очень важно с ними ознакомиться.

Как этот матричный калькулятор может помочь вам

1. Все, что вам нужно сделать, это ввести свою матрицу
2. Это должна быть квадратная матрица, то есть матрица с одинаковым количеством строк и столбцов.
3. Просто нажмите на кнопку и калькулятор покажет вам все шаги и конечное значение определителя
4. Работа над детерминантными вычислениями может быть чрезвычайно трудоемкой и подверженной ошибкам. Этот калькулятор избавит вас от этих проблем

Как вычислить определитель матрицы?

Это может быть длинный ответ, потому что есть много способов вычислить определитель матрицы. Скажем сначала, что определитель вычисляется только для квадратных матриц (это матрицы, которые имеют одинаковое количество строк и столбцов).

Итак, наименьшая матрица, для которой мы можем вычислить определитель, — это матрица 2x2. Давайте рассмотрим общую матрицу 2x2, как показано ниже:

\[ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\]

Какова формула определителя? В этом случае определитель матрицы \(A\) просто вычисляется как \(\det(A) = a d - bc\)

Так, например, если бы у нас было:

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}\]

определитель матрицы \(A\) будет \(\det(A) = 1 \cdot 3 - 2 \cdot 1 = 3 - 2 = 1\). Легко, верно?

Как найти определитель матрицы 3x3?

Теперь для матриц большего размера построим вычисление определителя на основе субдетерминанта меньших матриц. Чтобы дать вам представление, давайте рассмотрим один из способов вычисления определителя матрицы 3x3. Рассмотреть возможность

\[ A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}\]

В этом случае определитель матрицы 3х3 матрицы \(A\) вычисляется на основе действия нескольких определителей 2х2

\[\det(A) = a \det \begin{bmatrix}e & f \\ h & i \end{bmatrix} - b \det \begin{bmatrix} d & f \\ g & i \end{bmatrix} + c \det\begin{bmatrix} d & e \\ g & h \end{bmatrix}\]

В приведенных уравнениях значения \(a\), \(b\), \(c\) играют роль опорных и могут принимать отрицательный знак. Знак опорной точки — \((-1)^{i+j}\), где соответствующая опорная точка находится в строке \(i\) и столбце \(j\).

Например, \(a\) находится в строке 1 столбца 1, поэтому его знак — \((-1)^{1+1} = (-1)^2 = 1\) (положительный). Кроме того, \(b\) находится в строке 1, столбце 2, поэтому его знак — \((-1)^{1+2} = (-1)^3 = -1\) (отрицательный) и так далее.

Магия заключается в том, чтобы выбрать любую строку или столбец в качестве опорных. Каждая опорная точка будет иметь связанный знак (положительный или отрицательный) и субдетерминант, которые связаны с опорной точкой. матричные кофакторы .

Этот субдетерминант является фактическим определителем исходной матрицы после удаления строки \(i\) и столбца \(j\) для опорной точки, которая находится в строке \(i\) и столбце \(j\).

Наиболее логичное соглашение указывает на выбор строки или столбца с наибольшим количеством нулей для опорных точек, чтобы, по возможности, избежать вычисления некоторых субдетерминантов.

Как найти определитель матрицы 3x4?

Вы не можете сделать это. Матрица 3x4 не является квадратной матрицей, и, следовательно, определитель не может быть вычислен. Чтобы вычислить определитель, матрица должна иметь одинаковое количество строк и столбцов.

Калькулятор определителя 4x4

Для больших матриц методология та же: выберите одну строку или столбец для опорных точек, в идеале ту, в которой больше всего нулей. Найдите знак, соответствующий каждому опорному элементу, и найдите соответствующие субдетерминанты.

Итак, вы сводите вычисление определителя матрицы 4x4 к операции с четырьмя определителями 3x3. И, в свою очередь, каждый из определителей 3х3 находится как действие нескольких определителей 2х2, для которых мы знаем формулу.

Так что запутаться можно очень быстро.

Пример вычисления определителя матрицы

Вопрос: Рассмотрим следующую матрицу:

\[ \begin{bmatrix}1&2&3\\3&1&4\\2&3&8\end{bmatrix}\]

Вычислите определитель данной матрицы, показав шаги.

Отвечать: Нам нужно вычислить определитель предоставленной матрицы \(3 \times 3\).

По формуле субдетерминанта получаем:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 3&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 8 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \cdot \left( 8 \right) - 3 \cdot \left(4 \right) \right) - 2 \cdot \left( 3 \cdot \left( 8 \right) - 2 \cdot \left(4 \right) \right) + 3 \cdot \left( 3 \cdot \left( 3 \right) - 2 \cdot \left(1 \right) \right)\] \[ = 1 \cdot \left( -4 \right) - 2 \cdot \left( 16 \right) + 3 \cdot \left( 7 \right) = -15\]

Вывод : На основании вычислений, показанных выше, установлено, что определитель матрицы равен \(\det A = \displaystyle -15\).

Другие полезные матричные калькуляторы, которые вы можете использовать

Матричные расчеты, выполняемые вручную, трудоемки, поэтому вы можете воспользоваться нашими решателями линейной алгебры.

Во-первых, вы можете использовать этот калькулятор обратной матрицы для вычисления обратной матрицы, показывающей шаги, и вы можете сделать это либо с помощью сопряженный метод , или с помощью снижение RREF .