द्विघात समीकरणों को कैसे हल करें
द्विघात समीकरण का सबसे सामान्य व्यंजक नीचे दिखाया गया है:
\[a x^2 + b x + c = 0\]जहां \(a\), \(b\) और \(c\) वास्तविक हैं स्थिरांक , \(a = \not 0\) के साथ। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित समीकरण:
\[2x^2 -3x + 4 = 0\]एक द्विघात समीकरण है, जबकि
\[4x - 5 = 0\]नहीं है (क्योंकि गुणनखंड \(x^2\) समीकरण में मौजूद नहीं है)।
द्विघात समीकरण को हल करना
जब हमारे पास एक द्विघात समीकरण होता है तो इसका मुख्य उद्देश्य इसका समाधान खोजना होता है या जड़ों , दूसरा नाम जो आमतौर पर इस्तेमाल किया जाता है। जड़ों की गणना प्रसिद्ध के साथ की जाती है द्विघात सूत्र
\[x = \displaystyle{\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\]उदाहरण: समीकरण की जड़ें खोजें
\[2x^2 - x -1 = 0\]समाधान: हमें द्विघात समीकरण सूत्र लागू करने और \(a\), \(b\) और \(c\) के संगत मानों को बदलने की आवश्यकता है। इस मामले में, \(a=2\), \(b = -1\) और \(c = -1\):
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 2 \cdot (-1)}}{2\cdot 2}\] \[= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1+8 }}{4} = \frac{1 \pm 3 }{4}\]अब, हम देखते हैं कि \(\pm\) के कारण हमारे पास दो समाधान हैं, जिसका अर्थ है कि जड़ें हैं
\[x_1 = \frac{1 + 3 }{4} = 1\] \[x_2 = \frac{1 - 3 }{4} = -\frac{1}{2}\]भेदभाव करने वाला
यह पता चला है कि हम द्विघात समीकरण को हल करने से पहले ही उसकी जड़ों के बारे में बहुत कुछ जान सकते हैं। वो कैसे संभव है? खैर, हमें निम्नलिखित मात्रा की गणना करने की आवश्यकता है, जिसे कहा जाता है: विभेदक :
\[D = b^2-4ac\]विवेचक ऋणात्मक, शून्य या धनात्मक हो सकता है, और समाधान का प्रकार इस पर निर्भर करेगा। वास्तव में, हमारे पास वह है
- यदि \(D > 0\): दो भिन्न वास्तविक मूल हैं
- अगर \(D = 0\): केवल एक वास्तविक जड़ है (जड़ें दोहराई जाती हैं)
- यदि \(D < 0\): कोई वास्तविक मूल नहीं हैं (जड़ें जटिल हैं)
इसलिए, विभेदक के मूल्य के आधार पर हम पहले से ही यह निर्धारित करने में सक्षम होंगे कि किस प्रकार के समाधान हैं।
हमें एक नकारात्मक भेदभाव के साथ जटिल जड़ें क्यों मिलती हैं ? ठीक है, क्योंकि द्विघात सूत्र में, शब्द \( \sqrt{ b^2-4ac}\) प्रकट होता है, जो \(b^2-4ac <0\) होने पर वास्तविक नहीं होगा। रेखीय रूप से देखने के लिए कि जड़ों का पता कैसे लगाया जाए, आप हमारे द्विघात समीकरण सॉल्वर को आजमा सकते हैं
ध्यान दें कि जिस क्लासिक द्विघात समीकरण को हम सभी जानते हैं, वह केवल की विधि से प्राप्त व्युत्पत्ति है वर्ग पूरा करना .
इस का उपयोग करें द्विघात समीकरण सॉल्वर गणना करने के लिए, चरण-दर-चरण, द्विघात समीकरण की जड़ें।