चरणों के साथ इस उल्टे मैट्रिक्स कैलकुलेटर के बारे में अधिक

मैट्रिक्स के व्युत्क्रम की अवधारणा बीजगणित में इतने सारे संदर्भों में दिखाई देगी।सबसे पहले, मैट्रिसेस के लिए, विचार उन्हें एक समान तरीके से संचालित करने में सक्षम होना है जैसा कि हम संख्याओं के साथ करेंगे।और वास्तव में उचित हैं तंग , तमाम और अफ़म ।

लेकिन मैट्रिसेस के "डिवीजन" के बारे में कैसे?जब हमारे पास एक नंबर, 3, उदाहरण के लिए, मैं उस संख्या के (गुणक) व्युत्क्रम को परिभाषित कर सकता हूं, जिसे मैं \(3^{-1}\) के रूप में लिख सकता हूं, या अधिक सामान्यतः \(\displaystyle \frac{1}{3}\) के रूप में लिखा गया है।

इस व्युत्क्रम की एक महत्वपूर्ण संपत्ति यह है कि जब मूल संख्या से गुणा किया जाता है, तो यह आपको 1 देता है, यह \(3 \cdot \displaystyle \frac{1}{3} = 1\) है।

कैसे पहचानें और इनवर्टिबल मैट्रिक्स

• अफ़सतर शून्य से अलग है
• इसे प्राप्त करें पंक-k-फॉ rifur और शून्य के बिना एक विकर्ण मैट्रिक्स प्राप्त करें
• खोजो कि सिरम्यूल पहचान है

आप एक मैट्रिक्स के व्युत्क्रम को कैसे परिभाषित करते हैं?

मैट्रिसेस के लिए, "1" की भूमिका पहचान मैट्रिक्स \(I\) द्वारा निभाई जाती है, और एक मैट्रिक्स \(A\) दिया गया है, हम कहेंगे कि \(A^{-1}\) \(A\)> का व्युत्क्रम हैअगर \(A A^{-1} = I = A^{-1} A\)।

तो दूसरे शब्दों में, किसी दिए गए मैट्रिक्स का उलटा \(A\) एक मैट्रिक्स है जिसमें संपत्ति है अय्यरहामन , पहचान मैट्रिक्स I की ओर जाता है।

आप उलटा मैट्रिक्स की गणना कैसे करते हैं?

किसी दिए गए मैट्रिक्स \(A\) के व्युत्क्रम की गणना करने के कई, कई अलग -अलग तरीके हैं।सबसे अधिक इस्तेमाल किए जाने वाले तरीकों में से एक है तेरम , जो एक पंक्ति और एक स्तंभ \(A\) को हटाकर प्राप्त उप-मैट्रिक के निर्धारकों के एक पूरे समूह के कैलकुलेटर पर आधारित है।

निरीक्षण करें कि यह व्युत्क्रम कैलकुलेटर आपको गौसियन रिडक्शन विधि का उपयोग करके उलटा की गणना करने का विकल्प भी देता है कम पंकtun ईसीलॉन ईसीलॉन ईसीलॉन फॉ फॉ की एक संवर्धित मैट्रिक्स की।

प्रारंभिक \(A\) मैट्रिक्स को प्राथमिक मैट्रिसेस का उपयोग करते हुए मैट्रिक्स को परिवर्तित करने के लिए पिवटिंग विधि भी है, जबकि उन प्राथमिक मैट्रिस के गुणन का ट्रैक रखते हुए, जो उलटा हो जाता है।

\[ E_1 E_2 \cdots E_k A = I \Rightarrow E_1 E_2 \cdots E_k = A^{-1}\]

कुछ अपघटन के साथ -साथ इनवर्टिबिलिटी के तरीके भी हैं, और अंततः, एक विशिष्ट उपयोगी संरचनाओं के साथ मैट्रिसेस को विशेष तरीकों का उपयोग करके अपने व्युत्क्रम को खोजने के मामले में तेजी से संसाधित किया जा सकता है, केवल कुछ संरचनाओं पर लागू होता है।

उलटा मैट्रिक्स के लिए सूत्र क्या है?

आसन्न सूत्र का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि एक मैट्रिक्स के व्युत्क्रम के लिए सूत्र \(A\) है:

\[ A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} adj(A)\]

पहली नजर में यह सरल लग रहा है!लेकिन यह इतना नहीं है जब मैट्रिक्स का आकार बड़ा होता है।वास्तव में, उपरोक्त सूत्र आपको बता रहा है कि उलटा खोजने के लिए आपको मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करने की आवश्यकता होती है, और आपको भी आसन्न मैट्रिक्स की गणना करने की आवश्यकता है।

दिखावे के विपरीत, यह मैट्रिक्स के आकार के साथ बहुत श्रम गहन हो सकता है (जैसे \(n > 4\))।तो, यह अच्छा है कि हमारे पास एक कॉम्पैक्ट फॉर्मूला है, लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि यह श्रम गहन नहीं होगा।

आप 2x2 मैट्रिक्स को कैसे उल्टा कर सकते हैं?

सबसे पहले, आपको यह सुनिश्चित करना होगा कि \(\det(A) \ne 0\)।मान लें कि हमारे पास 2x2 मैट्रिक्स है, हम आसन्न सूत्र का उपयोग करेंगे।होने देना

\[ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\]

तो आसन्न फॉर्मूला का उपयोग करके हमें मिलेगा

\[ A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T\]

सामान्य 2x2 मैट्रिक्स के लिए \(A\) इसका निर्धारक है

\[ \det(A) = ad - bc\]

इसके अलावा, कोफ़ेक्टर मैट्रिक्स है

\[ C = \begin{bmatrix} (-1)^{1+1} d & (-1)^{1+2} c \\\\ (-1)^{2+1} b & (-1)^{2+2} a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} d & -c \\\\ -b & a \end{bmatrix}\]

तो अब, हमें मैट्रिक्स को स्थानांतरित करने की आवश्यकता है \(C\):

\[ C^T = \begin{bmatrix} d & -c \\ -b & a \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\]

तो अंत में, हमारे पास उलटा के लिए सूत्र है:

\[ A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T = \displaystyle \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\]

काफी आसान, हुह?आप 3x3 के लिए प्रयास करना चाहते हैं?

मुझे 3x3 मैट्रिक्स का व्युत्क्रम कैसे मिलेगा?

पहली आवश्यकता, सभी मैट्रिस के साथ, निर्धारक की गणना करने और यह सुनिश्चित करने के लिए है कि \(\det(A) \ne 0\)।फिर, हमें जेनेरिक आसन्न फॉर्मूला को याद करने की आवश्यकता है

\[ A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T\]

जहां \(C\) cofactors का मैट्रिक्स है।यदि आप इसे स्पष्ट रूप से लिखते हैं, तो आपको कुछ इस तरह से मिलेगा: \(A\) एक सामान्य 3x3 मैट्रिक्स के लिए:

\[ A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}\]

हमें मिलेगा

\[ A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T\]

सामान्य 3x3 मैट्रिक्स के लिए \(A\) इसका निर्धारक है

\[ \det(A) = a(e i - hf) - b(d i - g f) + c(d h - g e)\]

इसके अलावा, कोफ़ेक्टर मैट्रिक्स है

\[ C = \begin{bmatrix} (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} e & f\\\\ h& i \end{vmatrix} & (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} d & f\\\\ g & i \end{vmatrix} & (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} d & e\\\\ g & h \end{vmatrix} \\\\ (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} b & c \\\\ h & i \end{vmatrix} & (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} a & c\\\\ g & i \end{vmatrix} & (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} a & b\\\\ g & h \end{vmatrix} \\\\ (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} b & c\\\\ e & f \end{vmatrix} & (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} a & c\\\\ d& f \end{vmatrix} & (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} a & b\\\\ d & e \end{vmatrix} \end{bmatrix}\] \[ = \begin{bmatrix} ei-fh & - (di - gf) & dh - ge \\ - (bi - hc) & ai - gc & - (ah - gb) \\ bf - ec & - (af-dc) & ae - db \end{bmatrix}\] \[ = \begin{bmatrix} ei-fh & gf - di & dh - ge \\ hc - bi & ai - gc & gb - ah \\ bf - ec & dc - af & ae - db \end{bmatrix}\]

तो अब, हमें मैट्रिक्स को स्थानांतरित करने की आवश्यकता है \(C\):

\[ C^T = \begin{bmatrix} ei-fh & gf - di & dh - ge \\ hc - bi & ai - gc & gb - ah \\ bf - ec & dc - af & ae - db \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} ei - fh & hc - bi & bf - ec \\ gf - di & ai - gc & dc - af \\ dh - ge & gb - ah & ae - db \end{bmatrix}\]

तो अंत में, हमारे पास उलटा के लिए सूत्र है:

\[ A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T = \displaystyle \frac{1}{a(e i - hf) - b(d i - g f) + c(d h - g e))} \begin{bmatrix} ei - fh & hc - bi & bf - ec \\ gf - di & ai - gc & dc - af \\ dh - ge & gb - ah & ae - db \end{bmatrix} \]

इसे याद करने के लिए तैयार हैं?बिलकूल नही।ऐसा नहीं है कि आपको वास्तव में करना है।यह सिर्फ एक टीज़र है कि जब आप एक साधारण 3x3 मैट्रिक्स के लिए एक सामान्य सूत्र प्राप्त करने की कोशिश करते हैं तो यह कितना जटिल हो जाता है।यह वास्तव में गन्दा हो जाता है, और \(n > 3\) के लिए बेकार हो जाता है।

तो, उलटा खोजने के लिए चरणों का एक सेट लागू करना बहुत अधिक व्यावहारिक है:

मैट्रिक्स के व्युत्क्रम की गणना करने के लिए क्या कदम हैं?

स्टेप 1: दिए गए मैट्रिक्स ए के निर्धारक की गणना करें। नोटिस करें कि यह बड़े मैट्रिस के लिए गणना की जा सकती है, इसलिए सबसे शून्य के साथ पंक्ति/कॉलम द्वारा निर्धारक की गणना करने के लिए उपयोग करें।

चरण दो: मैट्रिक्स ए से जुड़े कोफ़ेक्टर मैट्रिक्स की गणना करें। आपको घटक द्वारा आईटी घटक की गणना करने की आवश्यकता है, पंक्ति I और कॉलम j को हटाकर प्राप्त उप-मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करके, साइन \((-1)^{i+j}\) द्वारा गुणा किया गया।फिर से, उप-निर्धारणकर्ताओं की गणना करते समय यह सुनिश्चित करें कि आप सबसे अधिक शून्य के साथ पंक्ति/कॉलम चुनते हैं।

चरण 3: एक बार जब आपके पास मूल मैट्रिक्स और कोफ़ेक्टर मैट्रिक्स का निर्धारक होता है, तो निर्धारक द्वारा कोफ़ेक्टर मैट्रिक्स के प्रत्येक घटक को विभाजित करें, और इसका परिणाम अंत में, उलटा मैट्रिक्स है।

इस उलटा कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

1. मैट्रिक्स का आकार निर्दिष्ट करें
2. मैट्रिक्स को निर्धारित करने वाली संख्याओं में टाइप करें
3. उस विधि का चयन करें जिसे आप उलटा की गणना करने के लिए उपयोग करना पसंद करते हैं: "Adjoint फॉर्मूला" या "कम पंक्ति ईसीलॉन फॉर्म"
4. "अरायना", ray कry

उदाहरण: किसी दिए गए मैट्रिक्स के व्युत्क्रम की गणना

प्रश्न: निम्नलिखित मैट्रिक्स पर विचार करें:

\[A = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

आसन्न फॉर्मूला का उपयोग करके इसका उलटा खोजें।

तमाम: हमें एक \(3 \times 3\) मैट्रिक्स के व्युत्क्रम की गणना करने की आवश्यकता है जो प्रदान किया गया है।

चरण 1: मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करें

उप-निर्धारण सूत्र का उपयोग करके हमें मिलता है:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) - 2 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) + 1 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right)\] \[ = 1 \cdot \left( -3 \right) - 2 \cdot \left( -2 \right) + 1 \cdot \left( 1 \right) = 2\]

चूंकि \(\det(A) = 2 \ne 0\), हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि मैट्रिक्स उल्टा है, और हम दिए गए मैट्रिक्स \(A\) के व्युत्क्रम की गणना के साथ जारी रख सकते हैं।

चरण 2: कॉफ़ेक्टर मैट्रिक्स की गणना करें

पहले हम नाबालिग मैट्रिक्स की गणना करते हैं।हमारे पास, परिभाषा के अनुसार, नाबालिगों मैट्रिक्स \(M\) सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है

\[ M_{ij} = \det A^{i,j}\]

जहां इस मामले में \( A^{i,j}\) मैट्रिक्स \(A\) पंक्ति को हटाने के बाद \(i\) और कॉलम \(j\) है।

इसलिए, और मैट्रिक्स के आधार पर \(A\) बशर्ते हम माइनर्स मैट्रिक्स के निम्नलिखित गुणांक प्राप्त करें:

के लिए \(A^{ 1, 1}\):

\[M_{ 1 1} = \det A^{ 1 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) = -3\]

के लिए \(A^{ 1, 2}\):

\[M_{ 1 2} = \det A^{ 1 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) = -2\]

के लिए \(A^{ 1, 3}\):

\[M_{ 1 3} = \det A^{ 1 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

के लिए \(A^{ 2, 1}\):

\[M_{ 2 1} = \det A^{ 2 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

के लिए \(A^{ 2, 2}\):

\[M_{ 2 2} = \det A^{ 2 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 0\]

के लिए \(A^{ 2, 3}\):

\[M_{ 2 3} = \det A^{ 2 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = -1\]

के लिए \(A^{ 3, 1}\):

\[M_{ 3 1} = \det A^{ 3 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 4 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 4 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 7\]

के लिए \(A^{ 3, 2}\):

\[M_{ 3 2} = \det A^{ 3 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 4 \right) - 2 \cdot \left(1 \right) = 2\]

के लिए \(A^{ 3, 3}\):

\[M_{ 3 3} = \det A^{ 3 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) = -3\]

संक्षेप में, नाबालिग मैट्रिक्स है:

\[M = \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle -2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle 7&\displaystyle 2&\displaystyle -3 \end{bmatrix} \]

अब, हम कॉफ़ेक्टर मैट्रिक्स के तत्वों की गणना कर सकते हैं \(C\) सूत्र का उपयोग करके

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\]

उपरोक्त सूत्र का सीधे उपयोग किया जा सकता है क्योंकि नाबालिगों को पहले से ही जाना जाता है।हम पाते हैं

\[ C_{ 1 1} = (-1)^{ 1+1} \left(-3\right)= (-1)^{ 2} \left(-3\right) = -3\] \[C_{ 1 2} = (-1)^{ 1+2} \left(-2\right)= (-1)^{ 3} \left(-2\right) = 2\] \[C_{ 1 3} = (-1)^{ 1+3} \cdot 1 = (-1)^{ 4} \cdot 1 = 1\] \[C_{ 2 1} = (-1)^{ 2+1} \cdot 1 = (-1)^{ 3} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 2 2} = (-1)^{ 2+2} \cdot 0 = (-1)^{ 4} \cdot 0 = 0\] \[C_{ 2 3} = (-1)^{ 2+3} \left(-1\right)= (-1)^{ 5} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 1} = (-1)^{ 3+1} \cdot 7 = (-1)^{ 4} \cdot 7 = -7\] \[C_{ 3 2} = (-1)^{ 3+2} \cdot 2 = (-1)^{ 5} \cdot 2 = -2\] \[C_{ 3 3} = (-1)^{ 3+3} \left(-3\right)= (-1)^{ 6} \left(-3\right) = 3\]

संक्षेप में, cofactor मैट्रिक्स है:

\[C = \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -7&\displaystyle -2&\displaystyle 3 \end{bmatrix} \]

चरण 3: कोफ़ेक्टर मैट्रिक्स से आसन्न मैट्रिक्स की गणना करें

अब, हमें बस उस कॉफ़ेक्टर मैट्रिक्स को स्थानांतरित करने की आवश्यकता है जिसे हमने आसन्न मैट्रिक्स की गणना करने के लिए पाया है।हम पाते हैं:

\[adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -7&\displaystyle -2&\displaystyle 3 \end{bmatrix} ^T = \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle -1&\displaystyle -7\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 0&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 3 \end{bmatrix} \]

चरण 4: कॉफ़ेक्टर मैट्रिक्स से उलटा की गणना करें

अंत में, हमें आसन्न मैट्रिक्स के प्रत्येक घटक को \(\displaystyle \frac{1}{\det(A)} = \frac{1}{2}\) गुणा करने की आवश्यकता है।तो हम मिलते हैं:

\[A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle -1&\displaystyle -7\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 0&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle \frac{1}{2}\times\left(-3\right)&\displaystyle \frac{1}{2}\times\left(-1\right)&\displaystyle \frac{1}{2}\times\left(-7\right)\\[0.6em]\displaystyle \frac{1}{2}\times2&\displaystyle \frac{1}{2}\times0&\displaystyle \frac{1}{2}\times\left(-2\right)\\[0.6em]\displaystyle \frac{1}{2}\times1&\displaystyle \frac{1}{2}\times1&\displaystyle \frac{1}{2}\times3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle -\frac{3}{2}&\displaystyle -\frac{1}{2}&\displaystyle -\frac{7}{2}\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle \frac{1}{2}&\displaystyle \frac{1}{2}&\displaystyle \frac{3}{2} \end{bmatrix} \]

जो मैट्रिक्स \(A\) के व्युत्क्रम की गणना का समापन करता है।