इस आसन्न मैट्रिक्स कैलकुलेटर के बारे में अधिक।

कॉफ़ैक्टर्स के रूप में उसी तरह, आसन्न मैट्रिक्स कसकर एक मैट्रिक्स के व्युत्क्रम के साथ जुड़ा हुआ है।वास्तव में, उलटा मैट्रिक्स और आसन्न मैट्रिक्स करीब लुकलिक हैं।

सभी निष्पक्षता में, मैट्रिक्स के आस -पास की अवधारणा उन्नत गणित में बहुत महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है (जहां मैट्रिस के बजाय हम रैखिक ऑपरेटरों के साथ व्यवहार करते हैं)।लेकिन कॉलेज के गणित में, केवल एक बार जब आप संभवत: आसन्न पर ठोकर खाएंगे, जब आप होते हैं अक्रौता त्योरक्यम आसन्न सूत्र का उपयोग करना।

आप एक मैट्रिक्स के आस -पास कैसे पाते हैं?

सबसे पहले, एक मैट्रिक्स की गणना कैसे की जाती है, इसके संदर्भ में, आइए हम याद करें तमाम जो कि दिए गए मैट्रिक्स \(A\) के i-th पंक्ति और J-th कॉलम को हटाकर गठित उप-मैट्रिक के निर्धारक की गणना करके गणना की जाती है।

तो फिर, नाबालिगों को परिभाषित किया गया था:

\[ M_{ij} = \det A^{i,j}\]

Cofactor मैट्रिक्स के लिए कैसे प्राप्त करें?

The कोफ़ेकthur r मैट , \(C\) कुछ "संकेतों" को जोड़कर नाबालिगों से प्राप्त किया जाता है, और इस के रूप में परिभाषित किया जाता है:

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}\]

अंत में, आप आसन्न मैट्रिक्स को कैसे प्राप्त करते हैं?आसन्न सूत्र क्या है?

सरल!एक बार आपके पास है cofactor purprautun की kayta पहले से ही, आपको जरूरत है अफ़्रीकस निकटवर्ती प्राप्त करने के लिए।ठोस:

\[ adj(A) = C^T \]

इसलिए, यह याद रखना आसान बनाने के लिए कि हमने 3 चरणों में आसन्न फॉर्मूला को तोड़ दिया है: सबसे पहले, आप नाबालिगों के मैट्रिक्स की गणना करते हैं, फिर आप कोफ़ैक्टर्स की गणना करते हैं, और फिर, आप कोफ़ेक्टर्स को प्राप्त करने के लिए cofactors को स्थानांतरित करते हैं।

आसन्न और एक ही ट्रांसपोज़ हैं?

यद्यपि आसन्न में एक मैट्रिक्स को ट्रांसपोज़ करना शामिल है, सामान्य तौर पर आसन्न और ट्रांसपोज़ मैट्रिस एक दूसरे से अलग होते हैं।

आप 4x4 मैट्रिक्स या बड़े के आस -पास कैसे पाते हैं?

आसन्न को खोजने की प्रक्रिया संख्यात्मक रूप से व्यापक हो सकती है, यह देखते हुए कि आपको \(n^2\) उप-निर्धारण करने वालों की गणना करने की आवश्यकता है, जो \(n \ge 4\) के साथ तेजी से बढ़ सकते हैं।

आसन्न मैट्रिक्स गणना का उदाहरण

प्रश्न: निम्नलिखित मैट्रिक्स पर विचार करें

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{bmatrix}\]

संबद्ध Adjoint मैट्रिक्स की गणना करें \(adj A\)।

समाधान:

हमें \(3 \times 3\) मैट्रिक्स के आसन्न मैट्रिक्स की गणना करने की आवश्यकता है जो प्रदान किया गया है:

चरण 1: कॉफ़ेक्टर मैट्रिक्स की गणना करें

पहले हम नाबालिग मैट्रिक्स की गणना करते हैं।हमारे पास, परिभाषा के अनुसार, नाबालिगों मैट्रिक्स \(M\) सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है

\[ M_{ij} = \det A^{i,j}\]

जहां इस मामले में \( A^{i,j}\) मैट्रिक्स \(A\) पंक्ति को हटाने के बाद \(i\) और कॉलम \(j\) है।

इसलिए, और मैट्रिक्स के आधार पर \(A\) बशर्ते हम माइनर्स मैट्रिक्स के निम्नलिखित गुणांक प्राप्त करें:

के लिए \(A^{ 1, 1}\):

\[M_{ 1 1} = \det A^{ 1 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 4 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 3\]

के लिए \(A^{ 1, 2}\):

\[M_{ 1 2} = \det A^{ 1 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

के लिए \(A^{ 1, 3}\):

\[M_{ 1 3} = \det A^{ 1 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) = -2\]

के लिए \(A^{ 2, 1}\):

\[M_{ 2 1} = \det A^{ 2 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 2\]

के लिए \(A^{ 2, 2}\):

\[M_{ 2 2} = \det A^{ 2 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

के लिए \(A^{ 2, 3}\):

\[M_{ 2 3} = \det A^{ 2 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(3 \right) = -1\]

के लिए \(A^{ 3, 1}\):

\[M_{ 3 1} = \det A^{ 3 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 4&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot \left( 1 \right) - 4 \cdot \left(1 \right) = -1\]

के लिए \(A^{ 3, 2}\):

\[M_{ 3 2} = \det A^{ 3 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(1 \right) = 0\]

के लिए \(A^{ 3, 3}\):

\[M_{ 3 3} = \det A^{ 3 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 4 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 4 \right) - 2 \cdot \left(3 \right) = 2\]

संक्षेप में, नाबालिग मैट्रिक्स है:

\[M = \begin{bmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 1&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle 0&\displaystyle 2 \end{bmatrix} \]

अब, हम कॉफ़ेक्टर मैट्रिक्स के तत्वों की गणना कर सकते हैं \(C\) सूत्र का उपयोग करके

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\]

उपरोक्त सूत्र का सीधे उपयोग किया जा सकता है क्योंकि नाबालिगों को पहले से ही जाना जाता है।हम पाते हैं

\[ C_{ 1 1} = (-1)^{ 1+1} \cdot 3 = (-1)^{ 2} \cdot 3 = 3\] \[C_{ 1 2} = (-1)^{ 1+2} \cdot 1 = (-1)^{ 3} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 1 3} = (-1)^{ 1+3} \left(-2\right)= (-1)^{ 4} \left(-2\right) = -2\] \[C_{ 2 1} = (-1)^{ 2+1} \cdot 2 = (-1)^{ 3} \cdot 2 = -2\] \[C_{ 2 2} = (-1)^{ 2+2} \cdot 1 = (-1)^{ 4} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 2 3} = (-1)^{ 2+3} \left(-1\right)= (-1)^{ 5} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 1} = (-1)^{ 3+1} \left(-1\right)= (-1)^{ 4} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 2} = (-1)^{ 3+2} \cdot 0 = (-1)^{ 5} \cdot 0 = 0\] \[C_{ 3 3} = (-1)^{ 3+3} \cdot 2 = (-1)^{ 6} \cdot 2 = -2\]

संक्षेप में, cofactor मैट्रिक्स है:

\[C = \begin{bmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle -1&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle -2&\displaystyle -1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -2 \end{bmatrix} \]

चरण 2: Cofactor मैट्रिक्स से आसन्न मैट्रिक्स की गणना करें

अब, हमें बस उस कॉफ़ेक्टर मैट्रिक्स को स्थानांतरित करने की आवश्यकता है जिसे हमने आसन्न मैट्रिक्स की गणना करने के लिए पाया है।हम पाते हैं:

\[adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle -1&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle -2&\displaystyle -1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -2 \end{bmatrix} ^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle -2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -1&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle -2&\displaystyle 1&\displaystyle -2 \end{bmatrix} \]

जो आसन्न मैट्रिक्स की गणना का समापन करता है।