المزيد حول هذا الحاسبة المصفوفة المقلوبة بخطوات

سيظهر مفهوم عكس المصفوفة في العديد من السياقات في الجبر.أولاً , بالنسبة للمصفوفات , تتمثل الفكرة في أن تكون قادرًا على تشغيلها بطريقة مماثلة كما نفعل بالأرقام.وفي الواقع هناك معقول مجموع ب الها و Tكazer tlmصفoفaT وبعد

ولكن ماذا عن "تقسيم" المصفوفات؟عندما يكون لدينا رقم , 3 , على سبيل المثال , يمكنني تحديد العكس (المضاعف) لهذا الرقم , والذي يمكنني كتابته على أنه \(3^{-1}\) , أو أكثر شيوعًا على أنه \(\displaystyle \frac{1}{3}\).

واحدة من خاصية حاسمة لهذا العكس هي أنه عندما تضاعف الرقم الأصلي , فإنه يمنحك 1 , وهذا هو \(3 \cdot \displaystyle \frac{1}{3} = 1\).

كيفية تحديد المصفوفة القابلة للانعكاس

• tجd أn chlmحadad يختلف عن الصفر
• الحصول على شكl chrow-echelon واحصل على مصفوفة قطرية بدون أصفار
• تجد أن Rref Mn adlmصفoفة هي الهوية

كيف تحدد عكس المصفوفة؟

بالنسبة للمصفوفات , يتم تشغيل دور "1" بواسطة مصفوفة الهوية \(I\) , وإعطاء مصفوفة \(A\) , سنقول أن \(A^{-1}\) هو عكس \(A\)إذا \(A A^{-1} = I = A^{-1} A\).

وبعبارة أخرى , فإن معكوس مصفوفة معينة \(A\) هو مصفوفة تحتوي على خاصية شرف فاتو , يؤدي إلى مصفوفة الهوية I.

كيف تحسب المصفوفة العكسية؟

هناك العديد من الطرق المختلفة لحساب عكس مصفوفة معينة \(A\).واحدة من الأساليب الأكثر استخدامًا هي صyغة mجaorة , والذي يعتمد على الآلة الحاسبة لمجموعة كاملة من المحددات من المجرات الفرعية التي تم الحصول عليها عن طريق إزالة صف واحد وعمود واحد من \(A\).

لاحظ أن هذه الآلة الحاسبة العكسية تمنحك أيضًا خيار حساب العكسي باستخدام طريقة الحد من الغوسية إلى شبح نموذج آنا من مصفوفة معززة.

هناك أيضًا طريقة المحور لتحويل المصفوفة الأولية \(A\) إلى الهوية باستخدام المصفوفات الأولية , مع تتبع تكاثر تلك المصفوفات الأولية , والتي تبين أنها عكسية.

\[ E_1 E_2 \cdots E_k A = I \Rightarrow E_1 E_2 \cdots E_k = A^{-1}\]

هناك أيضًا أساليب قابلية للانعكاس تستند إلى بعض التحلل أيضًا , وفي النهاية , يمكن معالجة المصفوفات ذات هياكل مفيدة محددة بشكل أسرع من حيث العثور على عكسها باستخدام أساليب متخصصة , لا تنطبق إلا على هياكل معينة.

ما هي صيغة المصفوفة العكسية؟

باستخدام الصيغة المجاورة , نجد أن صيغة عكس المصفوفة \(A\) هي:

\[ A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} adj(A)\]

للوهلة الأولى هذا يبدو بسيطا!لكن هذا ليس كثيرًا عندما يكون حجم المصفوفة كبيرًا.في الواقع , تخبرك الصيغة أعلاه أنه من أجل العثور على العكس الذي تحتاجه لحساب المحدد للمصفوفة , كما تحتاج إلى حساب المصفوفة المجاورة.

على عكس ما قد يشير إليه المظاهر , قد يكون هذا كثيفًا للغاية مع حجم المصفوفة كبير (مثل \(n > 4\)).لذلك , من الجيد أن لدينا صيغة مضغوطة , لكن هذا لا يعني بالضرورة أنه لن يكون كثيف العمالة.

كيف يمكنك عكس مصفوفة 2 × 2؟

أولاً , عليك التأكد من أن \(\det(A) \ne 0\).افترض أن لدينا مصفوفة 2 × 2 , وسوف نستخدم الصيغة المجاورة.يترك

\[ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\]

لذا باستخدام الصيغة المجاورة سنحصل عليها

\[ A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T\]

لمصفوفة 2x2 العامة \(A\) المحدد لها

\[ \det(A) = ad - bc\]

أيضا , مصفوفة العامل المساعد هي

\[ C = \begin{bmatrix} (-1)^{1+1} d & (-1)^{1+2} c \\\\ (-1)^{2+1} b & (-1)^{2+2} a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} d & -c \\\\ -b & a \end{bmatrix}\]

الآن , نحتاج إلى تحويل المصفوفة \(C\):

\[ C^T = \begin{bmatrix} d & -c \\ -b & a \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\]

أخيرًا , لدينا صيغة للعكس:

\[ A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T = \displaystyle \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\]

سهل بما فيه الكفاية , هاه؟تريد أن تحاول 3x3؟

كيف أجد عكس مصفوفة 3x3؟

المطلب الأول , كما هو الحال مع جميع المصفوفات , هو حساب المحدد والتأكد من أن \(\det(A) \ne 0\).ثم , نحتاج إلى تذكر الصيغة المجاورة العامة

\[ A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T\]

حيث \(C\) هي مصفوفة العوامل المساعدة.إذا كنت تريد أن تكتب هذا بشكل صريح , فستحصل على شيء من هذا القبيل: لـ \(A\) مصفوفة 3x3 عام:

\[ A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}\]

سوف نحصل

\[ A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T\]

لمصفوفة 3x3 العامة \(A\) المحدد لها

\[ \det(A) = a(e i - hf) - b(d i - g f) + c(d h - g e)\]

أيضا , مصفوفة العامل المساعد هي

\[ C = \begin{bmatrix} (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} e & f\\\\ h& i \end{vmatrix} & (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} d & f\\\\ g & i \end{vmatrix} & (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} d & e\\\\ g & h \end{vmatrix} \\\\ (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} b & c \\\\ h & i \end{vmatrix} & (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} a & c\\\\ g & i \end{vmatrix} & (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} a & b\\\\ g & h \end{vmatrix} \\\\ (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} b & c\\\\ e & f \end{vmatrix} & (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} a & c\\\\ d& f \end{vmatrix} & (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} a & b\\\\ d & e \end{vmatrix} \end{bmatrix}\] \[ = \begin{bmatrix} ei-fh & - (di - gf) & dh - ge \\ - (bi - hc) & ai - gc & - (ah - gb) \\ bf - ec & - (af-dc) & ae - db \end{bmatrix}\] \[ = \begin{bmatrix} ei-fh & gf - di & dh - ge \\ hc - bi & ai - gc & gb - ah \\ bf - ec & dc - af & ae - db \end{bmatrix}\]

الآن , نحتاج إلى تحويل المصفوفة \(C\):

\[ C^T = \begin{bmatrix} ei-fh & gf - di & dh - ge \\ hc - bi & ai - gc & gb - ah \\ bf - ec & dc - af & ae - db \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} ei - fh & hc - bi & bf - ec \\ gf - di & ai - gc & dc - af \\ dh - ge & gb - ah & ae - db \end{bmatrix}\]

أخيرًا , لدينا صيغة للعكس:

\[ A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T = \displaystyle \frac{1}{a(e i - hf) - b(d i - g f) + c(d h - g e))} \begin{bmatrix} ei - fh & hc - bi & bf - ec \\ gf - di & ai - gc & dc - af \\ dh - ge & gb - ah & ae - db \end{bmatrix} \]

هل أنت مستعد لحفظ ذلك؟بالطبع لا.ليس هذا عليك , حقا.هذا مجرد دعابة عن مدى تعقيدها عندما تحاول الحصول على صيغة عامة لمصفوفة 3 × 3 بسيطة.يصبح الأمر فوضويًا حقًا , ولا طائل منه إلى حد ما لـ \(n > 3\).

لذلك , من العملي أكثر بكثير تطبيق مجموعة من الخطوات لإيجاد العكسي:

ما هي الخطوات التي يجب اتباعها لحساب عكس المصفوفة؟

الخطوة 1: حساب المحدد للمصفوفة المحددة A. لاحظ أن هذا يمكن أن يكون مستهلكًا للمصفوفات الكبيرة , لذلك استخدمه لحساب المحدد بواسطة الصف/العمود مع معظم الأصفار.

الخطوة 2: حساب مصفوفة العامل المساعد المرتبطة بالمصفوفة A. تحتاج إلى حساب مكونه حسب المكون , عن طريق حساب المحدد للمصفوفة الفرعية التي تم الحصول عليها عن طريق إزالة الصف الأول والعمود J , مضروبة بواسطة علامة \((-1)^{i+j}\).مرة أخرى هنا , عند حساب المحددة الفرعية , تأكد من اختيار الصف/العمود مع معظم الأصفار.

الخطوه 3: بمجرد أن يكون لديك المحدد للمصفوفة الأصلية ومصفوفة العامل المساعد , قسّم كل مكون من مصفوفة العامل بواسطة المحدد , ونتيجة لذلك , المصفوفة العكسية.

كيفية استخدام هذه الآلة الحاسبة العكسية

1. حدد حجم المصفوفة
2. اكتب الأرقام التي تحدد المصفوفة
3. حدد الطريقة التي تفضل استخدامها لحساب العكسي: "الصيغة المجاورة" أو "نموذج صفوف الصف المنخفض"
4. nnzer فoق "حstab عداد"

مثال: حساب معكوس مصفوفة معينة

سؤال: النظر في المصفوفة التالية:

\[A = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

ابحث عن عكسها باستخدام الصيغة المجاورة.

الملم: نحتاج إلى حساب عكس المصفوفة \(3 \times 3\) التي تم توفيرها.

الخطوة 1: حساب المحدد للمصفوفة

باستخدام الصيغة الفرعية المحددة نحصل عليها:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) - 2 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) + 1 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right)\] \[ = 1 \cdot \left( -3 \right) - 2 \cdot \left( -2 \right) + 1 \cdot \left( 1 \right) = 2\]

نظرًا لأن \(\det(A) = 2 \ne 0\) , نستنتج أن المصفوفة قابلة للانعكاس , ويمكننا الاستمرار في حساب عكس المصفوفة المعطاة \(A\).

الخطوة 2: حساب مصفوفة العامل المساعد

أولا نحسب مصفوفة القصر.لدينا , بحكم التعريف , مصفوفة القصر \(M\) محددة بواسطة الصيغة

\[ M_{ij} = \det A^{i,j}\]

حيث في هذه الحالة \( A^{i,j}\) هي المصفوفة \(A\) بعد حذف الصف \(i\) والعمود \(j\).

لذلك , وبناءً على المصفوفة \(A\) شريطة أن نحصل على المعاملات التالية لمصفوفة القصر:

لـ \(A^{ 1, 1}\):

\[M_{ 1 1} = \det A^{ 1 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) = -3\]

لـ \(A^{ 1, 2}\):

\[M_{ 1 2} = \det A^{ 1 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) = -2\]

لـ \(A^{ 1, 3}\):

\[M_{ 1 3} = \det A^{ 1 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

لـ \(A^{ 2, 1}\):

\[M_{ 2 1} = \det A^{ 2 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

لـ \(A^{ 2, 2}\):

\[M_{ 2 2} = \det A^{ 2 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 0\]

لـ \(A^{ 2, 3}\):

\[M_{ 2 3} = \det A^{ 2 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = -1\]

لـ \(A^{ 3, 1}\):

\[M_{ 3 1} = \det A^{ 3 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 4 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 4 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 7\]

لـ \(A^{ 3, 2}\):

\[M_{ 3 2} = \det A^{ 3 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 4 \right) - 2 \cdot \left(1 \right) = 2\]

لـ \(A^{ 3, 3}\):

\[M_{ 3 3} = \det A^{ 3 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) = -3\]

ملخص , مصفوفة القصر هي:

\[M = \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle -2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle 7&\displaystyle 2&\displaystyle -3 \end{bmatrix} \]

الآن , يمكننا حساب عناصر مصفوفة العامل المساعد \(C\) باستخدام الصيغة

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\]

يمكن استخدام الصيغة أعلاه مباشرة لأن القاصرين معروفين بالفعل.نحن نحصل

\[ C_{ 1 1} = (-1)^{ 1+1} \left(-3\right)= (-1)^{ 2} \left(-3\right) = -3\] \[C_{ 1 2} = (-1)^{ 1+2} \left(-2\right)= (-1)^{ 3} \left(-2\right) = 2\] \[C_{ 1 3} = (-1)^{ 1+3} \cdot 1 = (-1)^{ 4} \cdot 1 = 1\] \[C_{ 2 1} = (-1)^{ 2+1} \cdot 1 = (-1)^{ 3} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 2 2} = (-1)^{ 2+2} \cdot 0 = (-1)^{ 4} \cdot 0 = 0\] \[C_{ 2 3} = (-1)^{ 2+3} \left(-1\right)= (-1)^{ 5} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 1} = (-1)^{ 3+1} \cdot 7 = (-1)^{ 4} \cdot 7 = -7\] \[C_{ 3 2} = (-1)^{ 3+2} \cdot 2 = (-1)^{ 5} \cdot 2 = -2\] \[C_{ 3 3} = (-1)^{ 3+3} \left(-3\right)= (-1)^{ 6} \left(-3\right) = 3\]

ملخص , مصفوفة العامل المساعد هي:

\[C = \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -7&\displaystyle -2&\displaystyle 3 \end{bmatrix} \]

الخطوة 3: حساب المصفوفة المجاورة من مصفوفة العامل

الآن , نحتاج فقط إلى تحويل مصفوفة العامل المساعد الذي وجدناه لحساب المصفوفة المجاورة.نحن نحصل:

\[adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -7&\displaystyle -2&\displaystyle 3 \end{bmatrix} ^T = \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle -1&\displaystyle -7\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 0&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 3 \end{bmatrix} \]

الخطوة 4: حساب العكسي من مصفوفة العامل

أخيرًا , نحتاج إلى مضاعفة \(\displaystyle \frac{1}{\det(A)} = \frac{1}{2}\) لكل مكون من المصفوفة المجاورة.لذلك نحصل على:

\[A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle -1&\displaystyle -7\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 0&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle \frac{1}{2}\times\left(-3\right)&\displaystyle \frac{1}{2}\times\left(-1\right)&\displaystyle \frac{1}{2}\times\left(-7\right)\\[0.6em]\displaystyle \frac{1}{2}\times2&\displaystyle \frac{1}{2}\times0&\displaystyle \frac{1}{2}\times\left(-2\right)\\[0.6em]\displaystyle \frac{1}{2}\times1&\displaystyle \frac{1}{2}\times1&\displaystyle \frac{1}{2}\times3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle -\frac{3}{2}&\displaystyle -\frac{1}{2}&\displaystyle -\frac{7}{2}\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle \frac{1}{2}&\displaystyle \frac{1}{2}&\displaystyle \frac{3}{2} \end{bmatrix} \]

الذي يخلص إلى حساب عكس المصفوفة \(A\).