المزيد عن هذه الآلة الحاسبة المصفوفة المجاورة.

بنفس الطريقة مثل العوامل المساعدة , ترتبط المصفوفة المجاورة بإحكام بعكس المصفوفة.في الواقع , فإن المصفوفة العكسية والمصفوفة المجاورة هي Lookalikes.

في جميع الإنصاف , يلعب مفهوم المصفوفة دورًا مهمًا للغاية في الرياضيات المتقدمة (حيث نتعامل مع المصفوفات الخطيين بدلاً من المصفوفات).ولكن في الرياضيات الجامعية , فإن الأوقات الوحيدة التي من المحتمل أن تتعثر فيها المجاور حSAB عسب باستخدام الصيغة المجاورة.

كيف تجد المصفوفة المجاورة؟

أولاً , من حيث كيفية حساب المصفوفة , دعنا نتذكر موفو التي يتم حسابها عن طريق حساب المحدد للمصطلحات الفرعية التي تشكلت عن طريق إزالة الصف I-Th والعمود J-Th من المصفوفة المعطاة \(A\).

إذن , تم تعريف القاصرين على النحو التالي:

\[ M_{ij} = \det A^{i,j}\]

كيف تصل إلى مصفوفة العامل؟

ال موجوهي , \(C\) يتم الحصول عليها من القاصرين عن طريق إضافة "علامات" معينة , وتعريفها على أنها:

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}\]

أخيرًا , كيف تصل إلى المصفوفة المجاورة؟ما هي الصيغة المجاورة؟

بسيط!بمجرد حصولك على موفوض الله بالفعل , تحتاج إلى ذلك تيبدل الملمس من أجل الحصول على النقطة المجاورة.بصراحة:

\[ adj(A) = C^T \]

لذلك , من أجل تسهيل تذكرنا أننا قمنا بتقسيم الصيغة المجاورة إلى 3 خطوات: أولاً , يمكنك حساب مصفوفة القاصرين , ثم تقوم بحساب العوامل المساعدة , وبعد ذلك , يمكنك نقل العوامل المساعدة للحصول على النقطة المجاورة.

هل هي المتشابهة وتنقل نفسها؟

على الرغم من أن هذه النقطة المجاورة تنطوي على نقل المصفوفة , إلا أن المصفوفات المجاورة والمصفوفات المتجاورة تختلف بشكل عام عن بعضها البعض.

كيف يمكنك العثور على المصفوفة 4x4 أو أكبر؟

يمكن أن تكون عملية العثور على النقطة المجاورة واسعة النطاق عدديًا , مع الأخذ في الاعتبار أنك بحاجة إلى حساب \(n^2\) المحددة الفرعية , والتي يمكن أن تنمو بسرعة مع \(n \ge 4\).

مثال على حساب المصفوفة المجاورة

سؤال: النظر في المصفوفة التالية

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{bmatrix}\]

حساب المصفوفة المجاورة المرتبطة \(adj A\).

المحلول:

نحتاج إلى حساب المصفوفة المجاورة لمصفوفة \(3 \times 3\) التي تم توفيرها:

الخطوة 1: حساب مصفوفة العامل المساعد

أولا نحسب مصفوفة القصر.لدينا , بحكم التعريف , مصفوفة القصر \(M\) محددة بواسطة الصيغة

\[ M_{ij} = \det A^{i,j}\]

حيث في هذه الحالة \( A^{i,j}\) هي المصفوفة \(A\) بعد حذف الصف \(i\) والعمود \(j\).

لذلك , وبناءً على المصفوفة \(A\) شريطة أن نحصل على المعاملات التالية لمصفوفة القصر:

لـ \(A^{ 1, 1}\):

\[M_{ 1 1} = \det A^{ 1 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 4 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 3\]

لـ \(A^{ 1, 2}\):

\[M_{ 1 2} = \det A^{ 1 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

لـ \(A^{ 1, 3}\):

\[M_{ 1 3} = \det A^{ 1 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) = -2\]

لـ \(A^{ 2, 1}\):

\[M_{ 2 1} = \det A^{ 2 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 2\]

لـ \(A^{ 2, 2}\):

\[M_{ 2 2} = \det A^{ 2 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

لـ \(A^{ 2, 3}\):

\[M_{ 2 3} = \det A^{ 2 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(3 \right) = -1\]

لـ \(A^{ 3, 1}\):

\[M_{ 3 1} = \det A^{ 3 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 4&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot \left( 1 \right) - 4 \cdot \left(1 \right) = -1\]

لـ \(A^{ 3, 2}\):

\[M_{ 3 2} = \det A^{ 3 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(1 \right) = 0\]

لـ \(A^{ 3, 3}\):

\[M_{ 3 3} = \det A^{ 3 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 4 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 4 \right) - 2 \cdot \left(3 \right) = 2\]

ملخص , مصفوفة القصر هي:

\[M = \begin{bmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 1&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle 0&\displaystyle 2 \end{bmatrix} \]

الآن , يمكننا حساب عناصر مصفوفة العامل المساعد \(C\) باستخدام الصيغة

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\]

يمكن استخدام الصيغة أعلاه مباشرة لأن القاصرين معروفين بالفعل.نحن نحصل

\[ C_{ 1 1} = (-1)^{ 1+1} \cdot 3 = (-1)^{ 2} \cdot 3 = 3\] \[C_{ 1 2} = (-1)^{ 1+2} \cdot 1 = (-1)^{ 3} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 1 3} = (-1)^{ 1+3} \left(-2\right)= (-1)^{ 4} \left(-2\right) = -2\] \[C_{ 2 1} = (-1)^{ 2+1} \cdot 2 = (-1)^{ 3} \cdot 2 = -2\] \[C_{ 2 2} = (-1)^{ 2+2} \cdot 1 = (-1)^{ 4} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 2 3} = (-1)^{ 2+3} \left(-1\right)= (-1)^{ 5} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 1} = (-1)^{ 3+1} \left(-1\right)= (-1)^{ 4} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 2} = (-1)^{ 3+2} \cdot 0 = (-1)^{ 5} \cdot 0 = 0\] \[C_{ 3 3} = (-1)^{ 3+3} \cdot 2 = (-1)^{ 6} \cdot 2 = -2\]

ملخص , مصفوفة العامل المساعد هي:

\[C = \begin{bmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle -1&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle -2&\displaystyle -1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -2 \end{bmatrix} \]

الخطوة 2: حساب المصفوفة المجاورة من مصفوفة العامل

الآن , نحتاج فقط إلى تحويل مصفوفة العامل المساعد الذي وجدناه لحساب المصفوفة المجاورة.نحن نحصل:

\[adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle -1&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle -2&\displaystyle -1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -2 \end{bmatrix} ^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle -2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -1&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle -2&\displaystyle 1&\displaystyle -2 \end{bmatrix} \]

الذي يختتم حساب المصفوفة المجاورة.