كيفية حل المعادلات التربيعية
يظهر التعبير الأكثر عمومية عن المعادلة التربيعية أدناه:
\[a x^2 + b x + c = 0\]حيث \(a\) و \(b\) و \(c\) حقيقية الثوابت , مع \(a = \not 0\). على سبيل المثال , المعادلة التالية:
\[2x^2 -3x + 4 = 0\]هي معادلة من الدرجة الثانية , بينما
\[4x - 5 = 0\]ليس (لأن العامل \(x^2\) غير موجود في المعادلة).
حل المعادلة التربيعية
الهدف الرئيسي عندما يكون لدينا معادلة من الدرجة الثانية هو إيجاد حلولها أو الجذور , وهو الاسم الآخر الشائع الاستخدام. الجذور محسوبة مع المشهور الصيغة التربيعية
\[x = \displaystyle{\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\]مثال: أوجد جذور المعادلة
\[2x^2 - x -1 = 0\]حل: نحتاج إلى تطبيق صيغة المعادلة التربيعية , واستبدال القيم المقابلة لها من \(a\) و \(b\) و \(c\). في هذه الحالة , \(a=2\) و \(b = -1\) و \(c = -1\):
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 2 \cdot (-1)}}{2\cdot 2}\] \[= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1+8 }}{4} = \frac{1 \pm 3 }{4}\]الآن , نرى أن لدينا حلين بسبب \(\pm\) , مما يعني أن الجذور هي كذلك
\[x_1 = \frac{1 + 3 }{4} = 1\] \[x_2 = \frac{1 - 3 }{4} = -\frac{1}{2}\]المميز
اتضح أنه يمكننا معرفة الكثير عن جذور المعادلة التربيعية حتى قبل حلها. كيف يعقل ذلك؟ حسنًا , نحتاج إلى حساب الكمية التالية , والتي تسمى مميز :
\[D = b^2-4ac\]يمكن أن يكون المميز سالبًا أو صفريًا أو موجبًا , وسيعتمد نوع الحلول عليه. في الواقع , لدينا ذلك
- إذا \(D > 0\): هناك جذران حقيقيان مختلفان
- إذا \(D = 0\): هناك جذر حقيقي واحد فقط (الجذور مكررة)
- إذا \(D < 0\): لا توجد جذور حقيقية (الجذور معقدة)
لذا , بناءً على قيمة التمييز , سنتمكن من تحديد نوع الحلول مسبقًا.
لماذا نحصل على جذور معقدة ذات تمييز سالب ؟ حسنًا , لأنه في الصيغة التربيعية , يظهر المصطلح \( \sqrt{ b^2-4ac}\) , والذي لن يكون حقيقيًا إذا \(b^2-4ac <0\). لمعرفة كيفية تحديد الجذور بيانياً , يمكنك تجربة حل المعادلات التربيعية
لاحظ أن المعادلة التربيعية الكلاسيكية التي نعرفها جميعًا هي ببساطة الاشتقاق الذي تم الحصول عليه من طريقة استكمال المربع .
استخدم هذا حل المعادلات التربيعية لحساب جذور المعادلة التربيعية خطوة بخطوة.