الصيغة التربيعية: كيف تحل معادلة تربيعية؟

المعادلة التربيعية هي واحدة من المعادلات الأكثر شيوعًا وانتشارًا في الرياضيات. من حيث تعريفها, المعادلة التربيعية هي معادلة من الشكل:

\[a x^2 + b x + c = 0\]

حيث \(a\) و\(b\) و\(c\) هي ثوابت, مع \( a \ne 0\). هذه هي الطريقة التي يتم بها معادلة من الدرجة الثانية يتم تعريفه, حيث يجب أن يكون المصطلح الرئيسي \(a\) مختلفًا عن الصفر.

الخبر السار هو أن المعادلة أعلاه ليست صعبة الحل حقًا, وهو أمر رائع بالنظر إلى أن المعادلة التربيعية تظهر حرفيًا في كل مكان في الجبر وحساب التفاضل والتكامل وفي كل مكان تقريبًا في مواضيع الرياضيات والعلوم.

حل المعادلة التربيعية

الآن, السؤال هو كيف نحل هذه المعادلة التربيعية الموضحة أعلاه. لحسن الحظ, الإجابة بسيطة ومعروفة: تحصل المعادلة التربيعية على حلولها باستخدام الصيغة التالية الصيغة التربيعية

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

القيم التي تم الحصول عليها بهذه المعادلة تعرف باسم جذور المعادلة التربيعية (المعروف أيضا باسم حلول المعادلة).من أجل تحليل طبيعة الحل , يتم تعريف التمييز على النحو التالي:

\[D = b^2 - 4ac\]

أنواع الحلول للصيغة التربيعية

بناءً على قيمة التمييز , يتم تعريف طبيعة الحلول.في الواقع , عندما يكون \(D \ge 0\), هناك حلان حقيقيان مختلفان , عندما يكون \(D = 0\), هناك حل حقيقي واحد متكرر , وعندما \(D \le 0\), هناك حللين وهميين مختلفين.هذا حلال المعادلة التربيعية يساعدك على إجراء هذه الحسابات تلقائيًا.

ويمكن تلخيص ذلك على النحو التالي:

• بالنسبة لـ \(b^2 - 4ac > 0\): المعادلة لها جذرين حقيقيين
• بالنسبة لـ \(b^2 - 4ac = 0\): المعادلة لها جذر حقيقي واحد (مكرر)
• بالنسبة لـ \(b^2 - 4ac < 0\): المعادلة لها جذرين مركبين

أحد الأشياء الأنيقة لهذا المحاليل المعادلة التربيعية هو أنه سيظهر الخطوات لحساب مفهوم Y , وإحداثيات القمة , وسوف ترسم الوظيفة التربيعية

.

خطوات الصيغة التربيعية

هناك العديد من الخطوات التي عليك اتباعها من أجل حل معادلة تربيعية بنجاح:

الخطوة 1: تحديد المعاملات. افحص المعادلة المعطاة من النموذج \(ax^2+bx+c\), وحدد المعاملات \(a\) و\(b\) و\(c\). المعامل \(a\) هو المعامل الذي يظهر عند ضرب الحد التربيعي \(x^2\).

المعامل \(b\) هو المعامل الذي يظهر عند ضرب الحد الخطي \(x\), والمعامل \(c\) هو الثابت.

مثال: افترض أن لديك التعبير التالي: \(x^2+3x+1\).ما هي المعاملات؟في هذه الحالة \(a = 1\)(المعامل يضاعف المصطلح التربيعي \(x^2\)) و \(b = 3\)(المعامل يضاعف المصطلح الخطي \(x\)) و \(c = 1\)(الثابت).

مثال: ماذا عن افترض أن لديك التعبير التالي: \(\frac{5}{4} + \frac{3}{4} x + \frac{1}{2} x^2\).ما هي المعاملات الآن؟في هذه الحالة \(a = \frac{1}{2}\)(المعامل يضاعف المصطلح التربيعي \(x^2\)) و \(b = \frac{3}{4}\)(المعامل يضاعف المصطلح الخطي \(x\)) و \(c = \frac{5}{4}\)(الثابت).

مثال: ما يحدث مع التعبير التالي: \(-3 + \frac{1}{2} x\).في هذه الحالة , لدينا \(a = 0\), لأن التعبير لا يحتوي على مصطلح تربيعي \(x^2\), لذلك في هذه الحالة , هذا ليس تعبيرًا تربيعيًا.

الخطوة 2: قم بتوصيل المعاملات التي وجدتها في الصيغة. الصيغة هي الصيغة التربيعية

\[x = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

لذلك تحتاج إلى استبدال قيمة المعاملات \(a\)و \(b\)و \(c\).

مثال: إذا كان لديك المعادلة: \(-3x^2 + 2x-1 = 0\), ستجد أن \(a = -3\)و \(b = 2\)و \(c = -1\).لذلك , توصيل هذه القيم في الصيغة التي نحصل عليها:

\[x = \displaystyle\frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(-3)(-1)}}{2(-3)}\]

الخطوة 3: تبسيط القيم في المعادلة , بمجرد توصيل قيم \(a\)و \(b\)و \(c\) .في المثال السابق , سيكون لدينا

\[x = \displaystyle\frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{-6} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{-6}\]

الخطوة 4: انظر داخل الجذر التربيعي. إذا كانت القيمة إيجابية , فعندئذ معادلة من الدرجة الثانية له جذور حقيقية.إذا كانت القيمة 0 , فهناك جذر حقيقي واحد , وإذا كانت القيمة الموجودة داخل الجذر التربيعي سلبيًا , فهناك جذران معقدان.في المثال السابق , لدينا -8 داخل الجذر التربيعي , لذلك لدينا حلين معقدين , كما هو موضح أدناه:

\[x = \displaystyle\frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{-6} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{-6}= \frac{-2 \pm i \sqrt{8}}{-6}\]

ما هي الصيغة التربيعية المستخدمة ل

ال الصيغة التربيعية هي واحدة من أكثر الصيغة في كل مكان في الرياضيات.يظهر عندما تقوم بحل كل أنواع المشكلات الهندسية , مثل عندما تقوم بتعظيم منطقة ما , مع إعطاء محيط ثابت , أو في العديد من مشاكل الكلمات.

يتساءل الكثير من الناس عما إذا كانت هناك أي علاقة بين صيغة المعادلة التربيعية هذه وطريقة إكمال المربع .الجواب بسيط: تصل إلى الصيغة التربيعية بواسطة حل المعادلة التربيعية عن طريق إكمال المربع.إنها بالضبط نفس الفكرة , التي تستمد إلى الصيغة التربيعية التي نعرفها جميعًا.

لاحظ أن الحلول للمعادلة التربيعية لها خاصية هندسية مثيرة للاهتمام للغاية: عندما تقوم بحساب متوسط الحلول الموجودة , ستحصل على الإحداثيات X من قمة المكافئ , مما يساعدك في العثور على شكل رأس من المكافئ , المعروف أيضًا باسم النموذج القياسي , المستخدم في العديد من التطبيقات , يشكل مثالًا مع الأقسام المخروطية.

أمثلة الصيغة التربيعية

حساب جذور المعادلة التربيعية التالية: \(3x^2 - 2x + 4 = 0\)

حل:

يجب حل المعادلة التالية:

\[ 3 x^2 -2 x + 4 = 0\]

هذا يتوافق مع المعادلة التربيعية.يتم استخدام الصيغة التالية للعثور على الحلول:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

باستخدام الصيغة أعلاه , نحصل على ذلك:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{ (-2)^2 - 4(3)(4)}}{2(3)}\]\[= \frac{ 2 \pm \sqrt{ -44}}{ 6}\]

وبالتالي , فإن الحلول هي:

\[x_1 = 0.333 - 1.106 i \] \[x_2 = 0.333 + 1.106 i \]

لذلك , هناك حلان خياليان \(x_1 = 0.333 - 1.106 i \)و \(x_2 = 0.333 + 1.106 i \).

أيضًا , يحدث التقاطع y في \(y = 4\), مما يعني أن إحداثيات مفهوم y هي \((0, 4)\).

أخيرًا , إحداثيات القمة هي:

\[x_V = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2\cdot 3} = 0.3333\] \[y_V = f(x_V) = 3 (0.3333)^2 -2 (0.3333) + 4 = 3.6667\]