آلة حاسبة الاحتمالات العادية لأخذ عينات من توزيعات
عاليمت: ستحسب هذه الآلة الحاسبة الاحتمالية العادية لتوزيعات أخذ العينات احتمالات التوزيع العادية للعينة تعني \(\bar X \), باستخدام النموذج أدناه.يرجى كتابة متوسط عدد السكان (\(\mu\)) , والانحراف المعياري للسكان (\(\sigma\)) , وحجم العينة (\(n\)) , وتقديم تفاصيل حول الحدث الذي تريد حساب احتمال (للتوزيع الطبيعي القياسي ,يعني 0 والانحراف المعياري هو 1):
المزيد حول هذا الحاسبة المحتملة الاحتمالية التوزيع العادية لأداة توزيعات أخذ العينات
عندما يتم حساب سلسلة من المتغيرات الموزعة بشكل طبيعي \(X_1, X_2, ...., X_n\)
\[\bar X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\]نظرًا لأن أي مزيج خطي من المتغيرات العادية أمر طبيعي أيضًا , فإن العينة تعني \(\bar X\) يتم توزيعها أيضًا (على افتراض أن كل \(X_i\) يتم توزيعه عادةً).يشار إلى توزيع \(\bar X\) عادة إلى toزiued .
اسم آخر سترى التوزيع العادي المشار إليه هو التوزيع الغوسي , أو التوزيع على شكل جرس.
كيف تحسب توزيع أخذ العينات؟
على افتراض أن \(X_i \sim N(\mu, \sigma^2)\), لجميع \(i = 1, 2, 3, ...n\), ثم يتم توزيع \(\bar X\)بنفس المعدل المشترك \(\mu\), ولكن مع تباين \(\displaystyle\frac{\sigma^2}{n}\).
هذا يخبرنا أن \(\bar X\)يتركز أيضًا في \(\mu \)ولكن تشتته أقل من ذلك لكل فرد \( X_i \).في الواقع , كلما زاد حجم العينة , كلما كان تشتت \(\bar X\).
صيغة التوزيع العادية
تعد صيغة التوزيع العادية صعبة نسبيًا , وهي ليست تلك التي ستتعامل معها يدويًا.الصيغة هي:
\[ f(x)=\frac{1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}} e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}\]صيغة التوزيع العادية أخذ العينات
المفتاح عند العمل مع توزيعات أخذ العينات هو استخدام حقيقة أنه إذا كان \(\mu\) هو متوسط السكان و \(\sigma\) هو الانحراف المعياري للسكان , ثم
\[ \displaystyle \frac{\bar X - \mu}{\sigma}\]لديه توزيع طبيعي قياسي.هذا أمر بالغ الأهمية , لأنه يمكننا استخدام هذا لتقليل جميع توزيعات أخذ العينات إلى حstaBaT alaحtmaalat alazaadiة .
بعبارات بسيطة , ما تفعله هو تقليل حساب أي احتمال توزيع طبيعي في ح ساب زورهيتا .
من خلال تقليل جميع حسابات التوزيع العادية إلى العمل مع الدرجات Z , كل ما تحتاجه هو جدول عادي قياسي , حيث يمكنك العثور على القيم z , أو أداة مثل هذه الآلة الحاسبة أو Excel.
ما هو متوسط توزيع أخذ العينات
متوسط توزيعات أخذ العينات , \(\mu(\bar X)\), هو نفس المتوسط الأساسي للتوزيع \(\mu\).
الانحراف المعياري لتوزيع أخذ العينات
على عكس حالة الوسط , يمكن حساب الانحراف المعياري للوسائل المعيارية باستخدام الصيغة:
\[s(\bar X) = \displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt n}\]الآلات الحاسبة المتعلقة بالتوزيع الطبيعي
إذا كنت ترغب في حساب الاحتمالات العادية لملاحظة واحدة \(X\), فيمكنك استخدام هذه الآلة الحاسبة مع \(n=1\), أو يمكنك استخدام العادية لدينا حASBة آثواكت الهادي .
في كثير من الأحيان تكون مهتمًا بالعملية العكسية: بالنظر إلى الاحتمال , فأنت تريد العثور على النتيجة مثل احتمال حق تلك النتيجة هو ذلك الذي يمكنك استخدامه حASBة Invnorm
أيضًا , إذا كان التصور الرسومي هو ما تحتاجه , فيمكنك تجربة مباشرة خalق chlersm thlebianiy .
أيضًا , من أجل تقييم ما إذا كانت العينة تأتي من التوزيع الطبيعي الفعلي , يمكنك استخدام أ مامرة الهااملات , وانظر النمط الذي تم الحصول عليه.إذا بدا خطيًا إلى حد ما , فإنه يشير إلى أن العينة قد جاءت من اقتراح موزعة بشكل طبيعي.
مثال:
سال : النظر في التوزيع الطبيعي حيث متوسط السكان هو 12 , والانحراف المعياري السكان هو 3.4.افترض أنك تأخذ عينات من الحجم ن = 16. ما هو احتمال أن تكون العينة في الفاصل (11.3 , 12.4)؟
حل:
فيما يلي عدد السكان متوسط \((\mu)\), الانحراف المعياري للسكان \((\sigma)\)وحجم العينة \((n)\)المقدمة:
Population Mean \((\mu)\) = | \(12\) |
Population Standard Deviation \((\sigma)\) = | \(3.4\) |
Sample Size \((n)\) = | \(16\) |
Event to compute its probability = | \(11.3 \leq \bar X \leq 12.4\) |
نحن بحاجة إلى حساب \(\Pr(11.3 \leq \bar X \leq 12.4)\).القيم Z المقابلة المطلوبة ليتم حسابها هي:
\[Z_{lower} = \frac{X_1 - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{ 11.3 - 12}{ 3.4/\sqrt{16}} = -0.82 \] \[Z_{upper} = \frac{X_2 - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{ 12.4 - 12}{ 3.4/\sqrt{16}}= 0.47 \]باستخدام خصائص التوزيع العادي , إذا كان \(X ~ N(\mu, \sigma)\), فإن المتغيرات \(Z_{lower} = \displaystyle \frac{X_1 - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \)و \(Z_{upper} = \displaystyle \frac{X_2 - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \)لها توزيع عادي قياسي.لذلك , يتم حساب الاحتمال على النحو التالي:
\[ \begin{array}{ccl} \Pr(11.3 \leq \bar X \leq 12.4) & = & \Pr\left(\displaystyle \frac{ 11.3 - 12}{ 3.4 / \sqrt{ 16}} \leq \frac{ \bar X - 12}{ 3.4 / \sqrt{ 16}} \leq \frac{ 12.4 - 12}{ 3.4 / \sqrt{ 16}}\right) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle\Pr\left(\frac{ 11.3 - 12}{ 3.4 / \sqrt{ 16}} \leq Z \leq \frac{ 12.4 - 12}{ 3.4 / \sqrt{ 16}}\right) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \Pr\left(-0.82 \leq Z \leq 0.47\right) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \Pr\left(Z \leq 0.47\right) - \Pr\left(Z \leq -0.82\right) \\\\ \\\\ & = & 0.681 - 0.2051 \\\\ \\\\ & = & 0.4759 \end{array}\]لذلك , بناءً على المعلومات المقدمة , يتم استنتاج أن \( \Pr(11.3 \leq \bar X \leq 12.4) = 0.4759\).