有关此方程组求解器的更多信息

该计算器允许您计算线性方程组的解,前提是方程的数量与变量的数量相同,并且您可以定义最多五个变量和五个方程的系统。

求解方程组可能很费力并且需要大量计算,尤其是对于大型系统。

如何求解方程组

有几种策略,但最常用的是：

• 这 图解法
• 这 替代法
• 这 消除法

这些方法被广泛使用,特别是对于 2x2 系统（即具有 2 个变量和 2 个方程的系统）。这些方法的问题在于它们对于更大的系统来说变得很麻烦。

并且图形方法仅适用于 2x2 系统。对于大型系统,您可以使用更系统的规则,例如高斯消元法和 克莱默法 .

有几种方法可用于计算线性方程组的解,但我们倾向于使用 克莱默法则 方法,因为它是回忆系统解计算的最简单方法之一。

如何使用此计算器求解方程组

1. 确定系统的大小（变量数和方程数）。选项为 2x2,3x3,4x4 和 5x5 系统
2. 指定大小后,您需要指定与每个变量关联的系数
3. 如果未使用系数,请将其留空或输入 0
4. 单击"计算",此求解器将向您显示所有步骤和解决方案

克莱默法则与此密切相关 使用矩阵求解方程组的计算器 ,因此您也可以改用该路线。

这是 5 个方程组求解器吗

是的,使用此求解器,您可以获得多达 5 个方程和 5 个变量的系统的解。更多变量和方程的方法并没有真正改变,但是手工计算变得非常冗长。因此,对于大于 5 个方程,您可能需要用计算机求解。

您如何使用此求解器求解方程组？

步骤1： 您需要通过用系统的系数填写空白来指定要求解的方程组。观察当一个变量不在方程中时,它的系数应该设置为零。

第2步： 只需点击"计算",剩下的就交给这个求解器了。首先,计算器会找到矩阵形式。

第 3 步： 求解器将计算矩阵 A 的行列式。如果 det(A) = 0,我们知道系统不会有唯一解。

第4步： 计算器将计算伴随矩阵。

第 5 步： 求解器使用 Cramer 规则公式计算相应的解：

\[x_j = \displaystyle \frac{\det(A^j) }{\det(A)}\]

那么,你将如何求解一个 6 变量方程？

这将是完全相同的方法,只是伴随矩阵的计算可能非常费力。您最好使用像 Mathematica 或 Matlab 这样的 CAS 来获得解决方案,一步一步跳过所有步骤,这可能过于广泛。

你能用 Excel 求解方程组吗？

从技术上讲,您可以使用一些特殊的组函数,例如"=MMULT",但通常普通 Excel 用户通常不知道如何操作。

这个具有步骤的方程组求解器的优点是您需要做的就是指定 方程组 你想解决,使用直观直观的方式。从此,您只需点击"计算"即可进行逐步计算。

方程组解的示例

考虑以下方程组

\[ \begin{aligned} 2 x&\, + \, &3 y&\, + \, & z & \, = \,3\\2 x&\, + \, &2 y&\, + \, &4 z & \, = \,1\\ x&\, + \, & y&\, + \, & z & \, = \,2 \end{aligned}\]

使用克莱默法则解决上述系统,显示所有步骤。

解决方案： 提供了一个\(3 \times 3\)线性方程组。

第一步：找到对应的矩阵结构

第一步包括找到相应的矩阵 \(A\) 和向量 \(b\),使系统可以写成 \(A x = b\)。

在这种情况下,根据提供的方程的系数,我们得到

\[ A = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

和

\[ b = \begin{bmatrix} \displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2 \end{bmatrix} \]

第 2 步：计算矩阵的行列式

现在,我们需要计算 \(A\) 的行列式,以便知道我们是否可以使用 Cramer 规则：

使用子行列式公式,我们得到：

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) - 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) + 1 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( -2 \right) - 3 \cdot \left( -2 \right) + 1 \cdot \left( 0 \right) = 2\]

由于\(\det(A) = \displaystyle 2 \ne 0\),我们断定矩阵是可逆的,我们可以继续使用克莱默法则。

第 3 步：计算解决方案

现在,我们需要使用以下公式计算每个解 \(x_j\)：

\[ x_j = \displaystyle \frac{\det(A^j)}{\det(A)}\]

其中 \(A^j\) 完全对应于矩阵 \(A\),除了列 j 被 \(b\) 替换。

对于 \(x\)：

使用子行列式公式,我们得到：

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) - 3 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(4 \right) \right) + 1 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) \right)\] \[ = 3 \cdot \left( -2 \right) - 3 \cdot \left( -7 \right) + 1 \cdot \left( -3 \right) = 12\]

现在我们发现使用克莱默公式,\(x\) 计算为

\[x = \displaystyle \frac{\det(A^{ 1}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle 12 }{ \displaystyle 2} = 6 \]

对于 \(y\)：

使用子行列式公式,我们得到：

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(4 \right) \right) - 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) + 1 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( -7 \right) - 3 \cdot \left( -2 \right) + 1 \cdot \left( 3 \right) = -5\]

现在我们发现使用克莱默公式,\(y\) 计算为

\[y = \displaystyle \frac{\det(A^{ 2}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 1 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle -5 }{ \displaystyle 2} = -\frac{5}{2} \]

对于 \(z\)：

使用子行列式公式,我们得到：

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right) - 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right) + 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( 3 \right) - 3 \cdot \left( 3 \right) + 3 \cdot \left( 0 \right) = -3\]

现在我们发现使用克莱默公式,\(z\) 计算为

\[z = \displaystyle \frac{\det(A^{ 3}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle -3 }{ \displaystyle 2} = -\frac{3}{2} \]

因此,总而言之,解决方案是

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle x\\\\\displaystyle y\\\\\displaystyle z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle 6\\\\\displaystyle -\frac{ 5}{ 2}\\\\\displaystyle -\frac{ 3}{ 2} \end{bmatrix} \]

这结束了给定线性系统的解的计算。