关于这个克莱默规则计算器

求解线性方程组 是代数中最重要的对象之一。这是因为许多不同的应用程序直接导致解决这样的系统。

可能是您处理文字问题,或为陆军士兵分配最佳饮食,您会偶然发现某种线性系统。

和 克莱默法则 是解决大型问题的最常用方法之一 线性方程组 ,特别是当方程的数量与变量的数量相同时。

并不是说克莱默规则会简化求解方程组所需的运算次数,它的名声是基于它是一个易于记忆的规则。

第一：克莱默规则是如何计算的？

步骤1： 要使克莱默规则起作用,您需要从方程组数与变量数相同的方程组开始。如果不是这种情况,请停下来,你不能使用克莱默法则。

第2步： 以矩阵形式识别方程组：\(Ax = b\),其中 \(A\) 是一个 \(n \times n\) 矩阵,其中包含与变量相乘的系数,而 \(A_{ij}\) 是与 j 相乘的系数 ^th i 中的变量 ^th 等式,而 \(b\) 是一个大小为 \(n\) 的向量,它收集了每个等式的所有右手边。

第 3 步： 计算矩阵 \(A\) 的行列式。如果\(\det(A) = 0\),系统有多个解,Cramer's Rule 不能做其他任何事情。

第4步： 您将关联矩阵 \(A^{j}\) 定义为与矩阵 \(A\) 相同,除了矩阵 \(A\) 的列 j 被 \(b\) 替换。

第 5 步： 如果 \(\det(A) \ne 0\),则存在唯一解,并且分量 \(x_j\) 和 \(j = 1, 2, ..., n\) 计算为

\[x_j = \displaystyle \frac{\det(A^j) }{\det(A)}\]

您如何在计算器上执行克莱默规则？

不同的计算器会为您执行克莱默规则,但大多数不会向您显示步骤。 Out 计算器将指导您完成所有步骤,并提供所有详细信息。

你如何解决克莱默规则中的 4x4 矩阵？

Cramer 规则如此受欢迎的原因之一是,对于不同的系统规模,它的表述实际上并没有太大变化,如果有的话。

事实上,为 4x4 系统做 Cramer 规则并不比为 2x2 系统更难（除了计算所涉及的行列式会更费力）

最终,无论系统的大小如何,您都可以根据以下公式计算解决方案

\[x_j = \displaystyle \frac{\det(A^j) }{\det(A)}\]

这意味着您采用原始矩阵,并将 \(A\) 的一列替换为 \(b\) 并计算行列式并找到它们的商。

如何为 ax=b 做克莱默规则计算器

在此上下文中求解 ax=b 是指在矩阵级别求解 \(Ax = b\)。因此,正确使用克莱默规则的诀窍是将给定的方程组正确转换为 \(Ax = b\) 形式的矩阵方程。

使用克莱默法则的例子

问题： 提供了以下 \(3 \times 3\) 线性方程组：

\[ \begin{aligned} 2 x&\, + \, &3 y&\, + \, &4 z & \, = \,1\\2 x&\, + \, &3 y&\, + \, &2 z & \, = \,5\\ x&\, + \, &2 y&\, + \, &8 z & \, = \,2 \end{aligned}\]

使用克莱默法则解决上述系统,显示所有步骤。

解决方案：

第一步：找到对应的矩阵结构

第一步包括找到相应的矩阵 \(A\) 和向量 \(b\),使系统可以写成 \(A x = b\)。

在这种情况下,根据提供的方程的系数,我们得到

\[ A = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{bmatrix} \]

和

\[ b = \begin{bmatrix} \displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 5\\[0.6em]\displaystyle 2 \end{bmatrix} \]

第 2 步：计算矩阵的行列式

现在,我们需要计算 \(A\) 的行列式,以便知道我们是否可以使用 Cramer 规则：

使用子行列式公式,我们得到：

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 3 \cdot \left( 8 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) \right) - 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 8 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) \right) + 4 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(3 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( 20 \right) - 3 \cdot \left( 14 \right) + 4 \cdot \left( 1 \right) = 2\]

由于\(\det(A) = \displaystyle 2 \ne 0\),我们断定矩阵是可逆的,我们可以继续使用克莱默法则。

第 3 步：计算解决方案

现在,我们需要使用以下公式计算每个解 \(x_j\)：

\[ x_j = \displaystyle \frac{\det(A^j)}{\det(A)}\]

其中 \(A^j\) 完全对应于矩阵 \(A\),除了列 j 被 \(b\) 替换。

对于 \(x\)：

使用子行列式公式,我们得到：

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 5&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 3 \cdot \left( 8 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) \right) - 3 \cdot \left( 5 \cdot \left( 8 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) \right) + 4 \cdot \left( 5 \cdot \left( 2 \right) - 2 \cdot \left(3 \right) \right)\] \[ = 1 \cdot \left( 20 \right) - 3 \cdot \left( 36 \right) + 4 \cdot \left( 4 \right) = -72\]

现在我们发现使用克莱默公式,\(x\) 计算为

\[x = \displaystyle \frac{\det(A^{ 1}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 5&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle -72 }{ \displaystyle 2} = -36 \]

对于 \(y\)：

使用子行列式公式,我们得到：

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 5&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 5 \cdot \left( 8 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) \right) - 1 \cdot \left( 2 \cdot \left( 8 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) \right) + 4 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(5 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( 36 \right) - 1 \cdot \left( 14 \right) + 4 \cdot \left( -1 \right) = 54\]

现在我们发现使用克莱默公式,\(y\) 计算为

\[y = \displaystyle \frac{\det(A^{ 2}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 5&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle 54 }{ \displaystyle 2} = 27 \]

对于 \(z\)：

使用子行列式公式,我们得到：

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 5\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 3 \cdot \left( 2 \right) - 2 \cdot \left(5 \right) \right) - 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(5 \right) \right) + 1 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(3 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( -4 \right) - 3 \cdot \left( -1 \right) + 1 \cdot \left( 1 \right) = -4\]

现在我们发现使用克莱默公式,\(z\) 计算为

\[z = \displaystyle \frac{\det(A^{ 3}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 5\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 2 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle -4 }{ \displaystyle 2} = -2 \]

因此,总而言之,解决方案是

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle x\\\\\displaystyle y\\\\\displaystyle z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle -36\\\\\displaystyle 27\\\\\displaystyle -2 \end{bmatrix} \]

这结束了给定线性系统的解的计算。