使用矩阵求解方程组

求解线性方程组 可以很容易地成为您在代数甚至数学中学到的最实用的技能之一。

原因是无数真正有用的现实生活应用最终都是使用线性方程组来解决的。

解决系统的方法有很多,通常使用不同的方法。一种常见的方法是矩阵方法,它首先包括 将方程组转换为矩阵形式 .

如何使用矩阵求解方程组？

步骤1： 将线性方程转换为矩阵,从中您可以识别 \(A\)（乘以相应的系数的矩阵）变量和 \(b\)（右侧系数的向量）。

第2步： 计算矩阵 \(A\) 的逆矩阵,我们称之为 \(A^{-1}\)。

第 3 步： 系统的解被发现是\(x = A^{-1} b\)。换句话说,您将 \(A\) 的倒数乘以 \(b\) 以获得具有解的向量。

请注意,这看起来很简单,但要找到逆 \(A^{-1}\) 需要进行大量计算,尤其是在矩阵很大的情况下。对于 4x4 及以上的车辆,它可能会变得很长。

那么,如何在计算器上求解系统？

具体细节会有所不同,具体取决于每个计算器。每台机器都有自己的原和格式来输入系统。对于我们的计算器,您可以清楚地看到您需要填写的系数的视觉全景图,以便指定系统。之后,计算器将向您显示所有相关步骤。

什么是线性方程组的一致性

一致性意味着等式不会导致不可能的事情,例如"2 = 3"。通常,在尝试求解系统之前,如果您有相同数量的方程和变量,您首先要计算矩阵的行列式。

如果行列式不为零,那么您可以安全地进行逆计算,并且可以保证系统没有任何不一致。

如果矩阵不平方怎么办：高斯消除

这种通过计算系数矩阵的逆矩阵并将其乘以 b 来求解系统的方法仅在变量数与方程数相同时才有效。如果不是这种情况,则可以使用高斯消去法。

例子

考虑以下方程组：

\[ \begin{aligned} 2 x&\, + \, & y&\, + \, &2 z & \, = \,1\\ x&\, + \, & y&\, + \, & z & \, = \,2\\ x&\, + \, & y&\, + \, &2 z & \, = \,3 \end{aligned}\]

使用矩阵求解上述系统。

解决方案： 已经提供了一个 \(3 \times 3\) 线性方程组,我们需要使用矩阵来求解这个系统。

第一步：找到对应的矩阵结构

第一步包括找到相应的矩阵 \(A\) 和向量 \(b\),使系统可以写成 \(A x = b\)。

在这种情况下,根据提供的方程的系数,我们得到

\[ A = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{bmatrix} \]

和

\[ b = \begin{bmatrix} \displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 3 \end{bmatrix} \]

第 2 步：计算矩阵的行列式

现在,我们需要计算 \(A\) 的行列式,以便知道我们是否可以计算矩阵 \(A\) 的逆：

使用子行列式公式,我们得到：

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right) - 1 \cdot \left( 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right) + 2 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left( 1 \right) + 2 \cdot \left( 0 \right) = 1\]

由于\(\det(A) = \displaystyle 1 \ne 0\),我们断定矩阵是可逆的,我们可以继续计算逆矩阵。

第 3 步：计算逆

现在我们计算次要矩阵。我们有,根据定义,次要矩阵 \(M\) 由公式定义

\[ M_{ij} = \det A^{i,j}\]

在这种情况下,\( A^{i,j}\) 是删除行 \(i\) 和列 \(j\) 之后的矩阵 \(A\)。

因此,基于矩阵\(A\),我们得到了minors矩阵的以下系数：

对于 \(A^{ 1, 1}\)：

\[M_{ 1 1} = \det A^{ 1 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

对于 \(A^{ 1, 2}\)：

\[M_{ 1 2} = \det A^{ 1 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

对于 \(A^{ 1, 3}\)：

\[M_{ 1 3} = \det A^{ 1 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 0\]

对于 \(A^{ 2, 1}\)：

\[M_{ 2 1} = \det A^{ 2 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = 0\]

对于 \(A^{ 2, 2}\)：

\[M_{ 2 2} = \det A^{ 2 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = 2\]

对于 \(A^{ 2, 3}\)：

\[M_{ 2 3} = \det A^{ 2 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

对于 \(A^{ 3, 1}\)：

\[M_{ 3 1} = \det A^{ 3 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = -1\]

对于 \(A^{ 3, 2}\)：

\[M_{ 3 2} = \det A^{ 3 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = 0\]

对于 \(A^{ 3, 3}\)：

\[M_{ 3 3} = \det A^{ 3 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

总而言之,未成年人矩阵是：

\[M = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle 0&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

现在,我们可以使用公式计算辅因子矩阵 \(C\) 的元素

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\]

上面的公式可以直接使用,因为未成年人已经知道了。我们得到

\[ C_{ 1 1} = (-1)^{ 1+1} \cdot 1 = (-1)^{ 2} \cdot 1 = 1\] \[C_{ 1 2} = (-1)^{ 1+2} \cdot 1 = (-1)^{ 3} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 1 3} = (-1)^{ 1+3} \cdot 0 = (-1)^{ 4} \cdot 0 = 0\] \[C_{ 2 1} = (-1)^{ 2+1} \cdot 0 = (-1)^{ 3} \cdot 0 = 0\] \[C_{ 2 2} = (-1)^{ 2+2} \cdot 2 = (-1)^{ 4} \cdot 2 = -2\] \[C_{ 2 3} = (-1)^{ 2+3} \cdot 1 = (-1)^{ 5} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 3 1} = (-1)^{ 3+1} \left(-1\right)= (-1)^{ 4} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 2} = (-1)^{ 3+2} \cdot 0 = (-1)^{ 5} \cdot 0 = 0\] \[C_{ 3 3} = (-1)^{ 3+3} \cdot 1 = (-1)^{ 6} \cdot 1 = -1\]

因此,辅因子矩阵为：

\[C = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle -1&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -2&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -1 \end{bmatrix} \]

现在,我们只需要转置我们找到的辅因子矩阵来计算伴随矩阵。我们得到：

\[adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle -1&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -2&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -1 \end{bmatrix} ^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -2&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -1&\displaystyle -1 \end{bmatrix} \]

最后,我们需要将伴随矩阵的每个分量乘以 \(\displaystyle \frac{1}{\det(A)} = \frac{1}{1} = 1\),这不会影响伴随矩阵。所以我们得到：

\[A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -2&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -1&\displaystyle -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -2&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -1&\displaystyle -1 \end{bmatrix} \]

第 4 步：计算解决方案

现在我们知道了逆\(A^{-1}\),解的向量计算为：

\[ x = A^{-1} b = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -2&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -1&\displaystyle -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle 1\cdot 1+0\cdot 2+1\cdot 3\\[0.6em]\displaystyle -1\cdot 1+\left(-2\right)\cdot 2+0\cdot 3\\[0.6em]\displaystyle 0\cdot 1+\left(-1\right)\cdot 2+\left(-1\right)\cdot 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle -2\\\\\displaystyle 3\\\\\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

因此,总而言之,解向量是

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle x\\\\\displaystyle y\\\\\displaystyle z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle -2\\\\\displaystyle 3\\\\\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

这结束了给定线性系统的解的计算。