圆的方程式
圆是最值得注意的几何图形之一。它有一些显著的对称性,基于这样一个事实：圆中的所有点都与中心等距,在英语中,这意味着圆中的所有点与中心的距离都相同。这个共同的距离\(r\)被称为 圆的半径 .
圆有许多重要的几何应用,这使它成为几何和代数中一个真正重要的对象。
圆的另一个关键属性是,它非常容易用代数法表示。这意味着我们可以很容易地设置一个方程来表示一个给定圆中的所有点。更具体地说,考虑坐标平面\(X - Y\)。这意味着我们有X轴和Y轴,它们相互垂直于对方
圆的方程
现在,让我们来谈谈代表一个特定圆的所有点的方程。事实上,对于一个半径为\(r\)的圆,以下方程描述了圆上的点\((x, y)\)。
\[\Large x^2 + y^2 = r^2\]以上对应于半径为\(r\)的圆的方程,其中心位于\((0,0)\),即坐标轴的原点。
当半径为\(r = 1\)时,我们有一个所谓的 单位圆 .
看上面的等式,几何学的解释是：\(x\)和\(y\)是三角形的边,\(r\)是斜边。
看待圆的方程的另一种方法是对方程的两边进行平方根处理,因此我们会得到\(\sqrt{x^2+y^2} = r\),这表明对于圆上的任何一点\((x,y)\),都是 与原点的距离 (在这种情况下,圆的中心）等于\(r\)。
不以原点为中心的圆的方程式
在协调轴上工作的一个好处是,圆上的点和中心可以是 局部的 在轴上,可以用一个方程表示,如上所示。但在一般情况下,圆心不一定是原点,它可以是坐标轴上的任何一点\((x_0, y_0\),在这种情况下,圆的方程变成了。
\[\Large (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2\]这就是所谓的 圆的一般方程 .例如,假设你需要计算一个半径为\(r = 4\)的圆的方程,该圆以\((1,2)\)为中心。所以在这种情况下,我们有\(x_0 = 1\),\(y_0 = 2\)和\(r = 4\),然后我们把这些数字插入上述方程,我们就可以得到
\[\large (x-1)^2 + (y-2)^2 = 4^2\]或者我们也可以写成
\[\large (x-1)^2 + (y-2)^2 = 16\]实例1
写出半径为3的圆的方程,其中心在原点。利用该方程,确定点（1,2）是否属于该圆。
回答：
首先,让我们确定圆的方程。在这种情况下,圆是以原点为中心的,所以\((x_0, y_0) = (0, 0)\)。因此,方程为
\[\large x^2 + y^2 = 3^2\]这与
\[\large x^2 + y^2 = 9\]现在的问题是,点（1,2）是否在圆上。我们知道,圆上的点将使\(x^2 + y^2 = 9\)。
对于点\((1, 2)\)我们得到\(x = 1\)和\(y=2\),那么对于该点的这种情况,\(x^2 + y^2 = 1^2 + 2^2 = 1+ 4 = 5\)与9不同,因此\((1,2)\)不属于圆。
关于圆周率的更多信息
圆是一个非常重要的数学实体,以至于有很多书都是关于它的。圆跨越几何学,三角学和代数,这就是为什么它在数学中到处都是横向出现。
如何算出圆的方程式？
当我们处理一个圆时,有几件事情需要解决。第一件事是构建圆的方程。例如,考虑一个半径为\(r = 3\)的圆,以\((1,1)\)点为中心。
根据圆的一般方程,该方程为
\[\large (x-1)^2 + (y-1)^2 = 3^2\]例如,可以用上述方程来确定一个点是否属于圆。你还可以做什么来算出圆的方程？你有可能扩大方程,所以我们可以得到
\[\large x^2 - 2x + 1 + y^2 -2y + 1 = 9\]这可以简化为
\[\large x^2 - 2x + y^2 -2y = 7\]因此,这两个方程是等价的,因为它们确定的是同一个圆。你喜欢哪一个？\((x-1)^2 + (y-1)^2 = 3^2\)还是\(x^2 - 2x + y^2 -2y = 7\)？这是品味的问题,也是你要用这个公式做什么的问题。
圆的面积
有趣的是,为了计算出 圆的面积 ,你不需要完整的方程式,你只需要知道半径。换句话说,在 圆的面积和周长 不依赖于它的中心。
圆的方程是一个函数吗？
这是许多学生的疑问,我们需要澄清。首先,该 圆的方程 是一个方程,而不是一个关系或函数。
现在,圆的方程决定了一种关系,而不是一种 功能 ,当你用代数法 求解y的x .事实上,如果我们求解\(y\),我们得到。
\[\large x^2 + y^2 = 9 \Rightarrow y^2 = 9 - x^2 \] \[\large \Rightarrow y = \pm \sqrt{ 9 - x^2} \]这意味着对于一个给定的\(x\),有两个\(y\)的值相关联,它们是\(\sqrt{ 9 - x^2}\)和\(-\sqrt{ 9 - x^2}\),这表明圆的方程决定了一个关系而不是一个函数。
圆圈的一个具体案例是 单位圆 ,方程式为\(x^2 + y^2 = 1\),以原点为中心。单位圆特别适合于处理 三角函数表达式 以一种非常直观的方式。