Подробнее об этом калькулятор транспонирования матрицы с шагами

Часто идея транспонирования матриц представлена в разных контекстах. Как мы часто видели, матрицы очень полезны в решение линейных систем , где коэффициенты уравнения представлены строками.

В некоторых случаях может быть полезно рассмотреть коэффициенты, представленные столбцами, для которых пригодится транспонированная матрица.

Как найти транспонирование матрицы?

Как обычно в математике, будет способ определить транспонирование с помощью символов. Давайте сначала попробуем это. Рассмотрим \(A\) и заданную матрицу размера \(m \times n\) (тогда она имеет строки \(m\) и столбцы \(n\)).

Транспонированная матрица \(A^T\) будет матрицей \(n \times m\) (со строками \(n\) и столбцами \(n\)), определенной следующим образом:

\[ A^{T}_{ij} = A_{ji} \]

Таким образом, элемент, который находится в координате \((i, j)\) из \(A^T\) (это строка i, столбец j), совпадает с элементом \(A\), который находится в координате \((j, i)\).

В конце концов, это причудливый способ сказать, что строки \(A^T\) построены с использованием столбцов \(A\). Легко и просто.

Так что это очень просто, и вы должны выполнить следующие шаги:

1. Установите матрицу A, которую вы хотите транспонировать
2. Определите столбцы матрицы A
3. Сформируйте матрицу транспонирования, используя в качестве строк то, что вы идентифицировали как столбцы A.

Процедура нахождения транспонирования матрицы

То, что мы нашли выше, дает нам процедуру, позволяющую легко найти транспонирование матрицы.

Шаг 1: Определите и перечислите столбцы данной матрицы и перечислите их.

Шаг 2: Используйте те столбцы, которые вы нашли на шаге 1, в качестве строк новой матрицы. Эта новая матрица и есть ваша \(A^T\). Сделанный.

Что такое транспонирование матрицы 2x4?

Переходя к мельчайшим деталям, транспонирование матрицы 2x4 представляет собой матрицу 4x2. Вам нужно получить 4 столбца исходной матрицы 2x4 и использовать их для установки в качестве строк в транспонированном виде 4x2.

Что такое симметричные матрицы?

Идея симметрии матриц тесно связана с перестановкой матриц. Действительно, говорят, что матрица \(A\) симметрична, когда \(A^T = A\).

Итак, симметричные матрицы — это те, которые остаются неизменными после их перестановки. Итак, один из способов оценить, является ли матрица симметричной заключается в вычислении его транспонирования и сравнении его с исходной матрицей.

Транспонирование — единственная операция, которую вы можете выполнять с матрицами?

Точно нет! Матрицы — универсальные объекты, и, как и числа, вы можете добавить матрицы , вычесть и умножить матрицы , и даже в некоторых случаях можно делить матрицы (при условии, что они обратимы).

Пример транспонирования матрицы

Вопрос: Рассмотрим следующую матрицу

\[ A = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle \frac{1}{3}&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 4 \end{bmatrix} \]

Вычислите соответствующую матрицу транспонирования \(A^t\).

Отвечать: Обратите внимание, что размер данной матрицы равен \(3 \times 3\), поэтому размер транспонированной матрицы равен \(3 \times 3\).

Транспонирование матрицы \(A\), которую мы называем \(A^T\), формально определяется компонент за компонентом, как показано с помощью формулы

\[ A^{T}_{ij} = A_{ji}\]

Другими словами, элемент, находящийся в i-й строке и j-м столбце матрицы транспонирования, совпадает с элементом, находящимся в j-й строке и i-м столбце исходной матрицы < >.

Следовательно, i-й столбец данной матрицы \(A\) соответствует i-й строке транспонированной матрицы. Итак, чтобы вычислить транспонирование матрицы \(A\), мы просто берем ее столбцы и делаем их строками транспонированной матрицы. Итак, мы получаем:

\[ A^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle \frac{1}{3}&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 4 \end{bmatrix} ^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle \frac{1}{3}&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 4 \end{bmatrix} \]

что завершает вычисление транспонирования \(A^T\).

<