Парабола
Парабола является геометрическим местом точек на координатных осях, которые имеют свойство, которое они равны с фиксированной точкой (называемой фокусом) и строкой (называемой Directrix).
Я знаю, что звучит слишком техническим, но мы пройдем через него, и в конце концов вы увидите, что это не так сложно.
Итак, это поможет, если бы я сказал, что
Функция \(f(x) = x^2\) Предавляет собой парабалу?
Конечно, это поможет.И вы можете думать "Почему вы не сказали мне от самого начала, что Parabola это функционирует?".
Потому что нет парабола, есть бесконечное число их.И парабола даже не должна быть представлена функцией.Да, некоторые отношения - параболы, как мы увидим.
Одно важно упомянуть: использование функций и отношений, есть параболы, которые "открываются" вдоль __xxyz_a __-оси, и есть параболы, которые "открываются" вдоль оси \(x\).
В конце концов, симметрией, легко осознавать, что эти параболы, которые "открываются" вдоль оси Y имеют ту же структуру, что и те, которые "открываются" вдоль оси X, поэтому достаточно учиться, какобрабатывать один тип.
Общее уравнение парабола
Существуют простые производства для получения уравнения параболы на основе расположения Directrix и фокусировки, но мы пропустим деривацию в этом введении.
Проверьте график ниже.Нам нужно определить некоторые важные элементы парабола: у нас есть вершина, фокус и Directrix.
Мы не будем гораздо подробно, но мы скажем уравнение общей параболы с вершиной в начале происхождения, с фокусом \((0, a)\) и Directrix, равным \(y = -a\)
Эта парабола - это парабола, которая открывается вдоль оси Y.
Теперь, что происходит, когда вместо того, чтобы иметь вершину в начале происхождения, мы хотим иметь вершину в данной точке \((k,h)\)?
Ну, это волшебство работы с системой координат, и все, что нам нужно сделать перевод по точке точки \((k,h)\)?Но как вы делаете перевод на \((k,h)\)?
Простой!Везде, где у вас есть \(x\), вы замените его \(x-k\), и куда у вас есть \(y\), вы замените его \(x-h\).
Следовательно, делать перевод, уравнение общей параболы с вершиной в точке \((k,h)\), с фокусом \((k, h+a)\) и Directrix, равным \(y = h-a\)
\[\large y-h = 4a(x-k)^2\]который можно записать как
\[\large \boxed{ y = 4a(x-k)^2 + h }\]Что происходит с параболами, которые открываются вдоль оси X?
Симметрией, это просто получено путем замены ролей \(x\) и \(y\) в уравнении Параболы, у нас уже есть.В практичности это означает, что везде, где \(x\) появляется в уравнении парабола, мы меня изменим \(y\) и наоборот для \(y\).
Следовательно, уравнение общей параболы с вершиной в точке \((h,k)\), с фокусом \((h+a, k)\) и directrix, равным \(x = h-a\):
\[\large \boxed{ x = 4a(y-k)^2 + h }\]Обратите внимание на разницу:
Когда Parabola имеет Directrix из формы __xxyz_a__, то PARABOLA открывается вдоль оси Y (вверх или вниз, в зависимости от того, является ли фокусировка выше или ниже Directrix).
Когда парабола имеет Directrix из формы \(x = -a\), то парабола открывается вдоль оси X (влево или вправо в зависимости от того, находится ли фокус влево или вправо от Directrix).
Пример 1.
Найдите уравнение парабола, имеющего Directrix _ Xyz _ _ и фокус _ xyz_b _.Также найдите вершину.
ОТВЕЧАТЬ:
Вершина - это на параболе, поэтому она равноправна Directrix \(y = -4\) и фокусировка \((0, 4)\), поэтому вершина \(0, 0)\).С другой стороны, для парабола с вершиной в начале происхождения уравнение Directrix _\(y = -a\), поэтому в этом случае \(a = 4\).Следовательно, уравнение парабола
\[ \large y = 4ax^2 = 4(4)x^2 = 16x^2 \]Графически:
Пример 2.
Найдите вершину, фокус и режиссер Parabola \(y = 8x^2 - 16x + 9\).
ОТВЕЧАТЬ:
Прежде всего, нам нужно завершить площадь:
\[\large y = 8x^2 - 16x + 9 = 8(x^2 - 2x) + 9 \] \[\large = 8(x^2 - 2x + 1 - 1) + 9 \] \[\large = 8(x^2 - 2x + 1) + 9 - 8 \] \[\large = 8(x-1)^2 + 1 \]Приравнивая это к общему уравнению, мы обнаруживаем, что вершина находится в точке \((1, 1)\), а также у нас есть что \(4a = 8\), поэтому \(a = 2\), следовательно, Directrix __xxyz_d__ и фокус \((k, h + a) = (1, 1+2) = (1, 3)\).
Графически:
Парабола и общие конические разделы
Как можно странно, парабола плотно связана с конусом.Как бы вы сказали?Греческие математики по имени Аполлоний, доверившись с помощью современной версии, используя систему координат, конических разделов.
Аполлоний и другие математики обнаружили, что когда вы разрезаете конус с плоским, в зависимости от относительного угла конуса и плоскости, конус разрезан таким образом, что разрез имеет разные формы.
Различные формы сечений, в зависимости от относительного угла среза являются то, что мы знаем как парабола, круг, эллипс и гипербол, как показано на рисунке ниже:
Подробнее о параболе
Общая парабола, которая открывается вдоль оси Y, с вершиной в начале __xxyz_a__ имеет следующее функциональное представление \(y = 4ax^2\).
Затем, по симметрии, общая парабола, которая открывается вдоль оси X, с вершиной в начале __xxyz_a__ имеет следующее функциональное представление \(x = 4ay^2\).
Затем общая вершина может быть получена путем нанесения перевода в данную точку \((k, h)\).
Приложения
Парабола обладает бесчисленными применениями в области физики, из-за того, как действует гравитационная сила и законы Ньютона, траектория большинства организмов, которые выброшены, будут следовать параболической траектории.
Кроме того, алгебраически говоря, параболы появляются в алгебре все время, потому что все квадратичные функции имеют параболический график, а квадратные функции появляются много в алгебре.
Также параболы появляются в исчислении при нахождении минимумов и максимумов.Оказывается, многие задачи максимизации и минимизации имеют квадратичную функцию для максимизации и геометрически, максимальный или минимум (в зависимости от того, если открывается парабола вверх или вниз), достигается на вершине.
Другие конические разделы, которые вы можете быть заинтересованы в изучении Эллипс , то Гипербола. и то Круг Отказ