Представьте, что у вас есть функция \(f(x)\). Например, у вас может быть что-то вроде \(f(x) = x^2\) или, может быть, что-то вроде \(f(x) = \sin x\). Определим производную функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) как

если предел существует. Прежде чем вы будете жаловаться, говоря: "Что это, черт возьми?" позвольте мне сказать вам кое-что, это не сложно, как может показаться на первый взгляд. Во-первых, пара замечаний о том, что это за предел.

• Производная \(f'(x)\) также функция (если он определен).


• Производная вычисляется в заданной точке \(x_0\) с использованием указанного выше предела. Если этот предел существует, и только если он существует, мы говорим, что производная хорошо определена в точке \(x_0\) a, и она записывается как \(f'(x_0)\)


• Другими словами, производную \(f'(x)\) можно рассматривать как функцию, которая зависит от исходной функции \(f(x)\) и вычисляется по точкам.


• Вот и все, что вам сейчас нужно знать (серьезно!).

Обратите внимание, что понятие производной в данной точке \(x_0\) интерпретируется как мгновенная скорость изменения функции в этой точке. Это достигается путем вычисления средняя скорость изменения для интервала шириной \(\Delta x\), и принимая это \(\Delta x\), когда оно приближается к нулю.

Пришло время привести несколько изящных примеров, чтобы понять, что происходит:

Пример : Вычислить производную функции \(f(x) = x^2\) в точке \(x_0 = 2\)

Решение : Мы просто используем определение и заменяем соответствующие термины. Посмотрим, что у нас получится:

Мы просто заменили \(f(x) = x^2\) и \(x_0 = 2\) в исходном определении производной. Теперь, заметив, что \(x^2 - 2^2 = (x-2)(x+2)\), мы находим, что

В следующем уроке мы узнаем больше о том, как вычислять производные.

(Перейти к обучающим материалам Производные 2 )