Как решать квадратные уравнения
Наиболее общее выражение квадратного уравнения показано ниже:
\[a x^2 + b x + c = 0\]где \(a\), \(b\) и \(c\) действительны константы , с \(a = \not 0\). Например, следующее уравнение:
\[2x^2 -3x + 4 = 0\]является квадратным уравнением, тогда как
\[4x - 5 = 0\]нет (потому что коэффициент \(x^2\) не присутствует в уравнении).
Решение квадратного уравнения
Основная задача, когда у нас есть квадратное уравнение, - найти его решения или корнеплоды , другое широко используемое имя. Корни вычисляются с помощью хорошо известного квадратичная формула
\[x = \displaystyle{\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\]Пример: Найдите корни уравнения
\[2x^2 - x -1 = 0\]Решение: Нам нужно применить формулу квадратного уравнения и заменить соответствующие значения \(a\), \(b\) и \(c\). В этом случае \(a=2\), \(b = -1\) и \(c = -1\):
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 2 \cdot (-1)}}{2\cdot 2}\] \[= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1+8 }}{4} = \frac{1 \pm 3 }{4}\]Теперь мы видим, что у нас есть два решения из-за \(\pm\), что означает, что корни
\[x_1 = \frac{1 + 3 }{4} = 1\] \[x_2 = \frac{1 - 3 }{4} = -\frac{1}{2}\]Дискриминант
Оказывается, мы можем многое узнать о корнях квадратного уравнения еще до его решения. Как такое возможно? Итак, нам нужно вычислить следующую величину, которая называется Дискриминантный :
\[D = b^2-4ac\]Дискриминант может быть отрицательным, нулевым или положительным, и от него будет зависеть тип решения. Фактически, у нас есть это
- Если \(D > 0\): есть два разных настоящих корня
- Если \(D = 0\): Настоящий корень только один (корни повторяются)
- Если \(D < 0\): нет настоящих корней (корни сложные)
Итак, в зависимости от значения дискриминанта мы сможем заранее определить, какие решения.
Почему мы получаем сложные корни с отрицательным дискриминатором ? Ну, потому что в квадратной формуле появляется термин \( \sqrt{ b^2-4ac}\), который не будет реальным, если \(b^2-4ac <0\). Чтобы графически увидеть, как найти корни, вы можете попробовать наш решатель квадратных уравнений
Обратите внимание, что классическое квадратное уравнение, которое мы все знаем, - это просто вывод, полученный методом завершение квадрата .
Использовать этот программа для решения квадратных уравнений для пошагового вычисления корней квадратного уравнения.