المزيد عن هذا نظام المعادلات حلال

تتيح لك هذه الآلة الحاسبة حساب حل نظام المعادلات الخطية , شريطة أن يكون عدد المعادلات هو نفسه عدد المتغيرات , ويمكنك تحديد نظام يصل إلى خمسة متغيرات وخمسة معادلات.

يمكن أن يكون حل نظام المعادلات شاقة ويتطلب الكثير من الحسابات , خاصة بالنسبة للأنظمة الكبيرة.

كيفية حل نظام المعادلات

هناك العديد من الاستراتيجيات , ولكن الأكثر شيوعًا هي:

• ال طrieقة روسوكي
• ال طrieقة العصر
• ال طrive alقضaء

تُستخدم هذه الطرق على نطاق واسع , خاصة بالنسبة لنظام 2 × 2 (هذا , أنظمة ذات متغيرين ومعادلتين).المشكلة في هذه الأساليب هي أنها تصبح مرهقة للأنظمة الأكبر.

والطريقة الرسومية تنطبق فقط على أنظمة 2x2.بالنسبة للأنظمة الكبيرة , يمكنك استخدام قواعد أكثر منهجية مثل القضاء الغوسي و طriقة cramer وبعد

هناك العديد من الطرق التي يمكن استخدامها لحساب الحلول لأنظمة المعادلات الخطية , لكننا نفضل استخدام أومرامر النهج , لأنه واحد من أسهل الطرق لاستدعاء حساب حلول النظام.

كيفية حل نظام المعادلات مع هذه الآلة الحاسبة

1. حدد حجم النظام (عدد المتغيرات وعدد المعادلات).الخيارات هي أنظمة 2 × 2 و 3 × 3 و 4x4 و 5x5
2. بمجرد تحديد الحجم , تحتاج إلى تحديد المعاملات المرتبطة بكل متغير
3. إذا لم يتم استخدام معامل , فاتركه فارغًا أو اكتب 0
4. انقر فوق "حساب" وسيظهر لك هذا الحلول جميع الخطوات والحلول

ترتبط قاعدة Cramer ارتباطًا وثيقًا بهذا حaSbة حlol nظam chalmuadlة bistخadam chalmصفoفaT , حتى تتمكن أيضًا من استخدام هذا المسار بدلاً من ذلك.

هل هذا نظام من 5 معادلات حلال

نعم , مع هذا الحلول , يمكنك الحصول على حلول لأنظمة تصل إلى 5 معادلات و 5 متغيرات.منهجية لمزيد من المتغيرات والمعادلات لا تتغير حقًا , لكن حسابات اليد تصبح طويلة جدًا.لذا , قد ترغب في حلها مع جهاز كمبيوتر أكبر من 5 معادلات.

كيف يمكنك حل نظام المعادلات باستخدام هذا المحلل؟

الخطوة 1: تحتاج إلى تحديد نظام المعادلات التي تريد حلها , من خلال ملء الفراغات مع معاملات النظام.لاحظ أنه عندما لا يكون المتغير في المعادلة , يجب ضبط معامله على الصفر.

الخطوة 2: ما عليك سوى النقر فوق "حساب" , وسيقوم هذا المحلل بالباقي.أولاً , ستجد الحاسبة نموذج المصفوفة.

الخطوه 3: سيحسب Solver المحدد للمصفوفة A. إذا كان Det (A) = 0 , فإننا نعلم أن النظام لن يكون له حل فريد.

الخطوة 4: ستقوم الحاسبة بحساب المصفوفة المجاورة.

الخطوة 5: يستخدم Solver صيغة قاعدة Cramer لحساب الحلول المقابلة:

\[x_j = \displaystyle \frac{\det(A^j) }{\det(A)}\]

لذا , كيف يمكنك حل معادلة متغيرة 6؟

سيكون نفس النهج بالضبط , فقط أن حساب المصفوفة المجاورة سيكون شاقًا للغاية.ستكون أفضل حالًا مع CAS مثل Mathematica أو Matlab للحصول على الحلول , وتخطي كل الخطوة بخطوة , والتي قد تكون واسعة للغاية.

هل يمكنك استخدام Excel لحل نظام المعادلات؟

من الناحية الفنية , يمكنك استخدام بعض وظائف المجموعة الخاصة , مثل "= mmult" , ولكن عادةً ما لا يعرف مستخدم Excel العادي كيفية القيام بذلك , عادة.

ميزة نظام حلول المعادلات هذا هو أن كل ما عليك فعله هو تحديد نظام الماعدة تريد حلها , باستخدام بديهية بصريًا.ومنذ ذلك الحين , كل ما عليك فعله هو النقر فوق "حساب" للحصول على حساب خطوة بخطوة.

مثال على نظام حل المعادلة

النظر في النظام التالي للمعادلة

\[ \begin{aligned} 2 x&\, + \, &3 y&\, + \, & z & \, = \,3\\2 x&\, + \, &2 y&\, + \, &4 z & \, = \,1\\ x&\, + \, & y&\, + \, & z & \, = \,2 \end{aligned}\]

حل النظام أعلاه باستخدام قاعدة Cramer , مما يوضح جميع الخطوات.

الملم: تم توفير \(3 \times 3\) نظام المعادلات الخطية.

الخطوة 1: ابحث عن بنية المصفوفة المقابلة

تتكون الخطوة الأولى من العثور على المصفوفة المقابلة \(A\) والمتجه \(b\) التي تسمح للكتابة النظام على أنه \(A x = b\).

في هذه الحالة , وبناءً على معاملات المعادلات المقدمة , نحصل على ذلك

\[ A = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

و

\[ b = \begin{bmatrix} \displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2 \end{bmatrix} \]

الخطوة 2: حساب محدد المصفوفة

الآن , نحتاج إلى حساب محدد \(A\) من أجل معرفة ما إذا كان بإمكاننا استخدام قاعدة Cramer:

باستخدام الصيغة الفرعية المحددة نحصل عليها:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) - 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) + 1 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( -2 \right) - 3 \cdot \left( -2 \right) + 1 \cdot \left( 0 \right) = 2\]

نظرًا لأن \(\det(A) = \displaystyle 2 \ne 0\) , نستنتج أن المصفوفة قابلة للانعكاس , ويمكننا الاستمرار في استخدام قاعدة Cramer.

الخطوة 3: حساب الحلول

الآن , نحتاج إلى حساب كل حلول من الحلول \(x_j\) , باستخدام الصيغة:

\[ x_j = \displaystyle \frac{\det(A^j)}{\det(A)}\]

حيث \(A^j\) correponds بالضبط إلى المصفوفة \(A\) باستثناء أن العمود j يتم استبداله بـ \(b\).

لـ \(x\):

باستخدام الصيغة الفرعية المحددة نحصل عليها:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) - 3 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(4 \right) \right) + 1 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) \right)\] \[ = 3 \cdot \left( -2 \right) - 3 \cdot \left( -7 \right) + 1 \cdot \left( -3 \right) = 12\]

الآن نجد أن استخدام صيغة Cramer , \(x\) يتم حسابها على أنها

\[x = \displaystyle \frac{\det(A^{ 1}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle 12 }{ \displaystyle 2} = 6 \]

لـ \(y\):

باستخدام الصيغة الفرعية المحددة نحصل عليها:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(4 \right) \right) - 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) + 1 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( -7 \right) - 3 \cdot \left( -2 \right) + 1 \cdot \left( 3 \right) = -5\]

الآن نجد أن استخدام صيغة Cramer , \(y\) يتم حسابها على أنها

\[y = \displaystyle \frac{\det(A^{ 2}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 1 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle -5 }{ \displaystyle 2} = -\frac{5}{2} \]

لـ \(z\):

باستخدام الصيغة الفرعية المحددة نحصل عليها:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right) - 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right) + 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( 3 \right) - 3 \cdot \left( 3 \right) + 3 \cdot \left( 0 \right) = -3\]

الآن نجد أن استخدام صيغة Cramer , \(z\) يتم حسابها على أنها

\[z = \displaystyle \frac{\det(A^{ 3}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle -3 }{ \displaystyle 2} = -\frac{3}{2} \]

وبالتالي , وتلخيص , الحل هو

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle x\\\\\displaystyle y\\\\\displaystyle z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle 6\\\\\displaystyle -\frac{ 5}{ 2}\\\\\displaystyle -\frac{ 3}{ 2} \end{bmatrix} \]

الذي يختتم حساب الحلول للنظام الخطي المعطى.