حول حاسبة قاعدة cramer هذا

ح أnظmة chalmadlat هو واحد من الكائنات paramount في الجبر.وذلك لأن العديد من التطبيقات المختلفة تؤدي مباشرة إلى حل مثل هذه الأنظمة.

يمكن أن يكون عملك بمشكلة كلمة , أو تعيين الوجبات الغذائية المثلى للجنود في الجيش , سوف تتعثر على نوع من النظام الخطي.

و أومرامر هي واحدة من أكثر الأساليب شيوعًا لحل كبير أnظmة الماعدة , خاصة عندما يكون عدد المعادلات هو نفس عدد المتغيرات.

ليس الأمر أن قاعدة Cramer ستقوم بتبسيط عدد العمليات اللازمة لحل نظام المعادلات , وتستند شهرتها إلى حقيقة أنه من السهل حفظها.

أولاً: كيف يتم حساب قاعدة cramer؟

الظهر 1: لكي تنجح قاعدة Cramer , يجب أن تبدأ بنظام المعادلات الذي يحتوي على نفس عدد معادلات عدد المتغيرات.إذا لم يكن الأمر كذلك , توقف , لا يمكنك استخدام قاعدة Cramer.

ال alخطoة 2: حدد نظام المعادلة في نموذج المصفوفة: \(Ax = b\) , حيث \(A\) مصفوفة \(n \times n\) التي تحتوي ^العاشر متغير في أنا ^العاشر المعادلة , و \(b\) هي ناقل من الحجم \(n\) يجمع كل الجانب الأيمن من كل من المعادلات.

الله 3: حساب محدد المصفوفة \(A\).إذا كان \(\det(A) = 0\) لديه أكثر من حل واحد , ولا يمكن لقاعدة Cramer فعل أي شيء آخر.

الظهر 4: يمكنك تحديد المصفوفة المرتبطة \(A^{j}\) لتكون هي نفسها المصفوفة \(A\) , باستثناء هذا العمود j من المصفوفة \(A\) يتم استبداله بـ \(b\).

الظهر 5: إذا كان \(\det(A) \ne 0\) , فهناك حل فريد , والمكونات \(x_j\) , مع \(j = 1, 2, ..., n\)

\[x_j = \displaystyle \frac{\det(A^j) }{\det(A)}\]

كيف تفعل قاعدة cramer على آلة حاسبة؟

ستقوم الآلات الحاسبة المختلفة بإجراء قاعدة Cramer لك , لكن الأغلبية لن تظهر لك الخطوات.ستوجهك حاسبة Out Calculator عبر جميع الخطوات , مع كل التفاصيل.

كيف يمكنك حل مصفوفة 4x4 في قاعدة cramer؟

أحد الأسباب التي تجعل قاعدة Cramer شائعة جدًا هو أن صياغتها لا تتغير كثيرًا , إن وجدت , لأحجام النظام المختلفة.

في الواقع , فإن قاعدة Cramer لنظام 4x4 ليس أصعب من القيام بذلك لنظام 2x2 (بخلاف حساب المحددات المعنية سيكون أكثر شاقة)

في النهاية , بغض النظر عن حجم النظام , يمكنك حساب الحلول وفقًا لـ

\[x_j = \displaystyle \frac{\det(A^j) }{\det(A)}\]

مما يعني أنك تأخذ المصفوفة الأصلية , واستبدل عمودًا من \(A\) بواسطة \(b\) وحساب المحددات والعثور على الحاصل عليها.

كيفية عمل حاسبة قاعدة cramer لـ ax = b

يشير حل AX = B في هذا السياق إلى حل \(Ax = b\) على مستوى المصفوفة.لذا فإن خدعة استخدام قاعدة Cramer بشكل صحيح هي تحويل نظام معين من المعادلات بشكل صحيح إلى معادلة مصفوفة للنموذج \(Ax = b\).

مثال على استخدام قاعدة cramer

سال: تم توفير نظام المعادلات الخطية التالية \(3 \times 3\):

\[ \begin{aligned} 2 x&\, + \, &3 y&\, + \, &4 z & \, = \,1\\2 x&\, + \, &3 y&\, + \, &2 z & \, = \,5\\ x&\, + \, &2 y&\, + \, &8 z & \, = \,2 \end{aligned}\]

حل النظام أعلاه باستخدام قاعدة Cramer , مما يوضح جميع الخطوات.

المحلول:

الخطوة 1: ابحث عن بنية المصفوفة المقابلة

تتكون الخطوة الأولى من العثور على المصفوفة المقابلة \(A\) والمتجه \(b\) التي تسمح للكتابة النظام على أنه \(A x = b\).

في هذه الحالة , وبناءً على معاملات المعادلات المقدمة , نحصل على ذلك

\[ A = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{bmatrix} \]

و

\[ b = \begin{bmatrix} \displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 5\\[0.6em]\displaystyle 2 \end{bmatrix} \]

الخطوة 2: حساب محدد المصفوفة

الآن , نحتاج إلى حساب محدد \(A\) من أجل معرفة ما إذا كان بإمكاننا استخدام قاعدة Cramer:

باستخدام الصيغة الفرعية المحددة نحصل عليها:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 3 \cdot \left( 8 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) \right) - 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 8 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) \right) + 4 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(3 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( 20 \right) - 3 \cdot \left( 14 \right) + 4 \cdot \left( 1 \right) = 2\]

نظرًا لأن \(\det(A) = \displaystyle 2 \ne 0\) , نستنتج أن المصفوفة قابلة للانعكاس , ويمكننا الاستمرار في استخدام قاعدة Cramer.

الخطوة 3: حساب الحلول

الآن , نحتاج إلى حساب كل حلول من الحلول \(x_j\) , باستخدام الصيغة:

\[ x_j = \displaystyle \frac{\det(A^j)}{\det(A)}\]

حيث \(A^j\) correponds بالضبط إلى المصفوفة \(A\) باستثناء أن العمود j يتم استبداله بـ \(b\).

لـ \(x\):

باستخدام الصيغة الفرعية المحددة نحصل عليها:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 5&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 3 \cdot \left( 8 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) \right) - 3 \cdot \left( 5 \cdot \left( 8 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) \right) + 4 \cdot \left( 5 \cdot \left( 2 \right) - 2 \cdot \left(3 \right) \right)\] \[ = 1 \cdot \left( 20 \right) - 3 \cdot \left( 36 \right) + 4 \cdot \left( 4 \right) = -72\]

الآن نجد أن استخدام صيغة Cramer , \(x\) يتم حسابها على أنها

\[x = \displaystyle \frac{\det(A^{ 1}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 5&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle -72 }{ \displaystyle 2} = -36 \]

لـ \(y\):

باستخدام الصيغة الفرعية المحددة نحصل عليها:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 5&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 5 \cdot \left( 8 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) \right) - 1 \cdot \left( 2 \cdot \left( 8 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) \right) + 4 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(5 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( 36 \right) - 1 \cdot \left( 14 \right) + 4 \cdot \left( -1 \right) = 54\]

الآن نجد أن استخدام صيغة Cramer , \(y\) يتم حسابها على أنها

\[y = \displaystyle \frac{\det(A^{ 2}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 5&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle 54 }{ \displaystyle 2} = 27 \]

لـ \(z\):

باستخدام الصيغة الفرعية المحددة نحصل عليها:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 5\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 3 \cdot \left( 2 \right) - 2 \cdot \left(5 \right) \right) - 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(5 \right) \right) + 1 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(3 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( -4 \right) - 3 \cdot \left( -1 \right) + 1 \cdot \left( 1 \right) = -4\]

الآن نجد أن استخدام صيغة Cramer , \(z\) يتم حسابها على أنها

\[z = \displaystyle \frac{\det(A^{ 3}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 5\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 2 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle -4 }{ \displaystyle 2} = -2 \]

وبالتالي , وتلخيص , الحل هو

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle x\\\\\displaystyle y\\\\\displaystyle z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle -36\\\\\displaystyle 27\\\\\displaystyle -2 \end{bmatrix} \]

الذي يختتم حساب الحلول للنظام الخطي المعطى.