حل نظام المعادلة باستخدام المصفوفات

ح أnظmة chalmadlat يمكن أن تكون بسهولة واحدة من أكثر المهارات العملية التي ستتعلمها في الجبر , أو حتى الرياضيات بشكل عام.

والسبب في ذلك هو أن تطبيقات الحياة الحقيقية التي لا حصر لها والتي هي مفيدة حقًا يمكن حلها باستخدام أنظمة المعادلات الخطية.

هناك العديد من المنهجيات لحل الأنظمة , والتي عادة ما تستخدم أساليب مختلفة.نهج واحد شائع هو نهج المصفوفة , الذي يتكون في البداية TحOYAL نتحام الماعدة وبعد

كيف يمكنك حل نظام المعادلات باستخدام المصفوفات؟

الظهر 1: قم بتحويل المعادلات الخطية إلى مصفوفة من , حيث يمكنك تحديد \(A\) (مصفوفة المعاملات التي تضاعف المتغيرات المقابلة) و \(b\) (متجه معاملات الجانب الأيمن).

ال alخطoة 2: قم بحساب عكس المصفوفة \(A\) , والتي نسميها \(A^{-1}\).

الله 3: تم العثور على حل النظام ليكون \(x = A^{-1} b\).من خلال الكلمات , يمكنك مضاعفة عكس \(A\) بواسطة \(b\) من أجل الحصول على المتجه مع الحلول.

لاحظ أن هذا يبدو بسيطًا للغاية , ولكن هناك الكثير من الحسابات المعنية للعثور على العكسي \(A^{-1}\) , خاصة إذا كان حجم المصفوفة كبيرًا.ل 4 × 4 وفوقه يمكن أن تصبح طويلة جدا.

لذا , كيف يمكنك حل الأنظمة على آلة حاسبة؟

تختلف التفاصيل على وجه التحديد , اعتمادًا على كل آلة حاسبة.سيكون لكل جهاز وتنسيق لإدخال نظام.في حالة الآلة الحاسبة الخاصة بنا , يمكنك الحصول على بانوراما بصرية واضحة للمعاملات التي تحتاجها لملءها لتحديد النظام.بعد ذلك , ستظهر لك الحاسبة جميع الخطوات ذات الصلة.

ما هو اتساق نظام المعادلات الخطية

الاتساق يعني أن المعادلة لا تؤدي إلى شيء مستحيل , مثل "2 = 3".عادة , قبل محاولة حل النظام , في حالة وجود نفس عدد المعادلات والمتغيرات , يمكنك أولاً حساب المحدد للمصفوفة.

إذا كان المحدد مختلفًا عن الصفر , فيمكنك المتابعة بأمان مع حساب العكس , وأنك مضمون أن النظام ليس لديه أي تناقض.

ماذا تفعل إذا لم تكن المصفوفة مربعة: القضاء على غاوس

طريقة حل النظام هذه عن طريق حساب عكس مصفوفة المعاملات A وضربه بواسطة B يعمل فقط عندما يكون عدد المتغيرات هو نفس عدد المعادلات.إذا لم يكن الأمر كذلك , فإذا كان ذلك مناسبًا لاستخدام Gauss Delination.

مثال

النظر في نظام المعادلات التالي:

\[ \begin{aligned} 2 x&\, + \, & y&\, + \, &2 z & \, = \,1\\ x&\, + \, & y&\, + \, & z & \, = \,2\\ x&\, + \, & y&\, + \, &2 z & \, = \,3 \end{aligned}\]

حل النظام أعلاه باستخدام المصفوفات.

الملم: تم توفير \(3 \times 3\) نظام المعادلات الخطية ونحتاج إلى حل هذا النظام باستخدام المصفوفات.

الخطوة 1: ابحث عن بنية المصفوفة المقابلة

تتكون الخطوة الأولى من العثور على المصفوفة المقابلة \(A\) والمتجه \(b\) التي تسمح للكتابة النظام على أنه \(A x = b\).

في هذه الحالة , وبناءً على معاملات المعادلات المقدمة , نحصل على ذلك

\[ A = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{bmatrix} \]

و

\[ b = \begin{bmatrix} \displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 3 \end{bmatrix} \]

الخطوة 2: حساب محدد المصفوفة

الآن , نحتاج إلى حساب محدد \(A\) من أجل معرفة ما إذا كان بإمكاننا حساب عكس المصفوفة \(A\):

باستخدام الصيغة الفرعية المحددة نحصل عليها:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right) - 1 \cdot \left( 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right) + 2 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left( 1 \right) + 2 \cdot \left( 0 \right) = 1\]

نظرًا لأن \(\det(A) = \displaystyle 1 \ne 0\) , نستنتج أن المصفوفة قابلة للانعكاس , ويمكننا الاستمرار في حساب العكس.

الخطوة 3: حساب العكسي

الآن نحسب مصفوفة القصر.لدينا , بحكم التعريف , مصفوفة القصر \(M\) محددة بواسطة الصيغة

\[ M_{ij} = \det A^{i,j}\]

حيث في هذه الحالة \( A^{i,j}\) هي المصفوفة \(A\) بعد حذف الصف \(i\) والعمود \(j\).

لذلك , وبناءً على المصفوفة \(A\) شريطة أن نحصل على المعاملات التالية لمصفوفة القصر:

لـ \(A^{ 1, 1}\):

\[M_{ 1 1} = \det A^{ 1 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

لـ \(A^{ 1, 2}\):

\[M_{ 1 2} = \det A^{ 1 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

لـ \(A^{ 1, 3}\):

\[M_{ 1 3} = \det A^{ 1 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 0\]

لـ \(A^{ 2, 1}\):

\[M_{ 2 1} = \det A^{ 2 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = 0\]

لـ \(A^{ 2, 2}\):

\[M_{ 2 2} = \det A^{ 2 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = 2\]

لـ \(A^{ 2, 3}\):

\[M_{ 2 3} = \det A^{ 2 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

لـ \(A^{ 3, 1}\):

\[M_{ 3 1} = \det A^{ 3 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = -1\]

لـ \(A^{ 3, 2}\):

\[M_{ 3 2} = \det A^{ 3 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = 0\]

لـ \(A^{ 3, 3}\):

\[M_{ 3 3} = \det A^{ 3 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

ملخص , مصفوفة القصر هي:

\[M = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle 0&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

الآن , يمكننا حساب عناصر مصفوفة العامل المساعد \(C\) باستخدام الصيغة

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\]

يمكن استخدام الصيغة أعلاه مباشرة لأن القاصرين معروفين بالفعل.نحن نحصل

\[ C_{ 1 1} = (-1)^{ 1+1} \cdot 1 = (-1)^{ 2} \cdot 1 = 1\] \[C_{ 1 2} = (-1)^{ 1+2} \cdot 1 = (-1)^{ 3} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 1 3} = (-1)^{ 1+3} \cdot 0 = (-1)^{ 4} \cdot 0 = 0\] \[C_{ 2 1} = (-1)^{ 2+1} \cdot 0 = (-1)^{ 3} \cdot 0 = 0\] \[C_{ 2 2} = (-1)^{ 2+2} \cdot 2 = (-1)^{ 4} \cdot 2 = -2\] \[C_{ 2 3} = (-1)^{ 2+3} \cdot 1 = (-1)^{ 5} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 3 1} = (-1)^{ 3+1} \left(-1\right)= (-1)^{ 4} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 2} = (-1)^{ 3+2} \cdot 0 = (-1)^{ 5} \cdot 0 = 0\] \[C_{ 3 3} = (-1)^{ 3+3} \cdot 1 = (-1)^{ 6} \cdot 1 = -1\]

وبالتالي , فإن مصفوفة العامل المساعد هي:

\[C = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle -1&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -2&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -1 \end{bmatrix} \]

الآن , نحتاج فقط إلى تحويل مصفوفة العامل المساعد الذي وجدناه لحساب المصفوفة المجاورة.نحن نحصل:

\[adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle -1&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -2&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -1 \end{bmatrix} ^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -2&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -1&\displaystyle -1 \end{bmatrix} \]

أخيرًا , نحتاج إلى مضاعفة كل مكون من مكونات المصفوفة المجاورة بواسطة \(\displaystyle \frac{1}{\det(A)} = \frac{1}{1} = 1\) , والتي لا تؤثر على المجاور.لذلك نحصل على:

\[A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -2&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -1&\displaystyle -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -2&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -1&\displaystyle -1 \end{bmatrix} \]

الخطوة 4: حساب الحلول

الآن بعد أن عرفنا عكس \(A^{-1}\) , يتم حساب متجه الحلول على النحو التالي:

\[ x = A^{-1} b = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -2&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -1&\displaystyle -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle 1\cdot 1+0\cdot 2+1\cdot 3\\[0.6em]\displaystyle -1\cdot 1+\left(-2\right)\cdot 2+0\cdot 3\\[0.6em]\displaystyle 0\cdot 1+\left(-1\right)\cdot 2+\left(-1\right)\cdot 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle -2\\\\\displaystyle 3\\\\\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

وبالتالي , وتلخيص , فإن ناقل الحل هو

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle x\\\\\displaystyle y\\\\\displaystyle z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle -2\\\\\displaystyle 3\\\\\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

الذي يختتم حساب الحلول للنظام الخطي المعطى.