الجبر دروس

بارابولا

تعتبر Parabola المكان الرئيسي للنقاط الهندسية في محاور الإحداثيات التي تحتوي على الممتلكات التي تكون متساوية عن نقطة ثابتة (تسمى التركيز) وخط (يسمى Directrix).

أعرف ما يبدو تقنيا قليلا جدا, لكننا سنذهب من خلاله, وفي النهاية سترى أنه ليس من الصعب.

لذلك, هل ستساعد إذا قلت ذلك وظيفة \(f(x) = x^2\) تمثل الباربولا؟ بالتأكيد سوف يساعد.وقد تفكر في "لماذا لم تخبرني من البداية أن الباربولا هي هذه الوظيفة؟".

لأنه لا يوجد بارابولا, هناك عدد لا حصر له.ولا يجب أن يمثل الشقاق من قبل وظيفة.نعم, بعض العلاقات هي بارابولا, كما سنرى.

شيء واحد مهم يجب ذكره: استخدام الوظائف والعلاقات, وهناك مكافأة "تفتح" على طول المحور __xyz_a __- المحور, وهناك parabolas التي "تفتح" على طول المحور __xyz_b __- المحور.

في النهاية, من خلال التماثل, من السهل أن ندرك أن أولئك بارابولا "تفتح" على طول المحور Y لها نفس الهيكل مثل تلك التي "تفتح" على طول المحور X, لذلك يكفي أن تتعلم كيفالتعامل مع نوع واحد.

المعادلة العامة من البارابولا

هناك اشتقادات بسيطة للحصول على معادلة Parabola بناء على موقع Directrix والتركيز, لكننا سنتخطي الاشتقاق في هذه المقدمة.

تحقق من الرسم البياني أدناه.نحتاج إلى تحديد بعض العناصر الحاسمة في Parabola: لدينا قمة الرأس والتركيز و Directrix.

لن نقول الكثير من التفاصيل, لكننا سنقول معادلة مكافأة عامة مع قمة الرأس على الأصل, مع التركيز \((0, a)\) و Directrix المساوية ل \(y = -a\)

\[\large \boxed{y = 4ax^2}\]

هذا parabola هو نوع parabola الذي يفتح على طول محور y.

الآن ما يحدث عندما يكون بدلا من الحصول على قمة الرأس في الأصل, نريد أن يكون لدينا قمة الرأس في نقطة معينة \((k,h)\)؟

حسنا, هذا هو سحر العمل مع نظام الإحداثيات, وكل ما نحتاج إلى القيام به ترجمة من خلال نقطة النقطة \((k,h)\)؟ولكن كيف يمكنك القيام بالترجمة من قبل \((k,h)\)؟

بسيط!أينما كنت لديك \(x\), يمكنك استبدالها بواسطة \(x-k\), ومن أين لديك \(y\), يمكنك استبدالها بواسطة \(x-h\).

وبالتالي, قم بعمل ترجمة, معادلة Parabola العامة مع Vertex عند النقطة \((k,h)\), مع التركيز \((k, h+a)\) و Directrix المساوية ل \(y = h-a\)

\[\large y-h = 4a(x-k)^2\]

والتي يمكن كتابتها

\[\large \boxed{ y = 4a(x-k)^2 + h }\]

ماذا يحدث مع البقعة التي تفتح على طول المحور x؟

بالتناظر, يتم الحصول على هذا ببساطة عن طريق استبدال أدوار \(x\) و \(y\) في معادلة Parabola لدينا بالفعل.في التطبيق العملي, هذا يعني أنه أينما يظهر \(x\) في معادلة Parabola لدينا, نقوم بتغييره \(y\), والعكس صحيح بالنسبة ل \(y\).

لذلك, فإن معادلة مكافأة عامة مع قمة الرأس عند نقطة \((h,k)\), مع التركيز \((h+a, k)\) و directrix المساوية ل \(x = h-a\) هي:

\[\large \boxed{ x = 4a(y-k)^2 + h }\]

لاحظ الفرق:

عندما يحتوي Parabola على Directrix للنموذج \(y = -a\), ثم يفتح Parabola على طول المحور Y (لأعلى أو لأسفل اعتمادا على ما إذا كان التركيز أعلى أو أسفل Directrix).

عندما يحتوي Parabola على Directrix للنموذج \(x = -a\), ثم يفتح Parabola على طول المحور X (يسار أو صحيح حسب ما إذا كان التركيز على اليسار أو اليمين في Directrix).

مثال 1

ابحث عن معادلة Parabola التي لديها Directrix _ XYZ _ A _ وتركيز _ XYZ_B _.أيضا العثور على قمة الرأس.

إجابه:

The Vertex هي الموجودة على Parabola, لذلك فهي متساوية من Directrix \(y = -4\) والتركيز \((0, 4)\), لذلك ثم Vertex هو \(0, 0)\).من ناحية أخرى, بالنسبة إلى Parabola مع Vertex بالأصل, فإن معادلة Directorrix هي \(y = -a\), ثم في هذه الحالة \(a = 4\).وبالتالي, فإن معادلة بارابولا

\[ \large y = 4ax^2 = 4(4)x^2 = 16x^2 \]

بيانيا:

مثال 2

ابحث عن قمة الرأس والتركيز و Directrix من Parabola \(y = 8x^2 - 16x + 9\).

إجابه:

بادئ ذي بدء, نحن بحاجة إلى إكمال المربع:

\[\large y = 8x^2 - 16x + 9 = 8(x^2 - 2x) + 9 \] \[\large = 8(x^2 - 2x + 1 - 1) + 9 \] \[\large = 8(x^2 - 2x + 1) + 9 - 8 \] \[\large = 8(x-1)^2 + 1 \]

معادلة هذا مع المعادلة العامة, نجد أن القمة الرأسية في النقطة \((1, 1)\), وكذلك لدينا ذلك \(4a = 8\), لذلك \(a = 2\), وبالتالي, فإن Directorrix هو \(y = h - a = 1 - 2 = -1\) والتركيز هو \((k, h + a) = (1, 1+2) = (1, 3)\).

بيانيا:

أقسام بارابولا والمخروط العام

من الغريب كما قد يكون, فإن الباربولا مرتبط بإحكام بالمخروط.كيف يمكنك أن تقول؟يعد علماء الرياضيات اليونانيين يدويون Apollonius هو الائتمان مع المساهمة بالنسخة الحديثة, باستخدام أنظمة الإحداثيات, من أقسام المخروطية.

اكتشف Apollonius وغيرها من علماء الرياضيات أنه عندما تقطع مخروطا بطائرة, اعتمادا على الزاوية النسبية للمخرف والطائرة, يتم قطع المخروط بطريقة أن القسم لديه أشكال مختلفة.

الأشكال المختلفة للأقسام, اعتمادا على الزاوية النسبية للقص هي ما نعرفه مثل parabola, circle, ellipse, و hyperbola, كما تظهر في الشكل أدناه: