المفهوم الأساسي للمشتقات
تخيل أن لديك دالة \(f(x)\). على سبيل المثال , يمكن أن يكون لديك شيء مثل \(f(x) = x^2\) أو ربما شيء مثل \(f(x) = \sin x\). نحدد مشتق الوظيفة \(f(x)\) عند النقطة \(x_0\) كـ
\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]إذا كان الحد موجودًا. قبل أن تشتكي قائلة "ما هيك هذا ؟؟" دعني أخبرك بشيء , هذا ليس معقدًا لأنه قد يبدو للوهلة الأولى. أولاً , بضع ملاحظات حول موضوع هذا الحد.
- المشتق \(f'(x)\) هي أيضا وظيفة (متى تم تعريفه).
- يتم حساب المشتق عند نقطة معينة \(x_0\) , باستخدام الحد المبين أعلاه. إذا كان هذا الحد موجودًا , وفقط في حالة وجوده , فإننا نقول إن المشتق محدد جيدًا عند النقطة \(x_0\) a , ويتم كتابته كـ \(f'(x_0)\)
- بمعنى آخر , يمكن اعتبار المشتق \(f'(x)\) دالة تعتمد على الوظيفة الأصلية \(f(x)\) , والتي يتم حسابها نقطة بنقطة.
- هذا كل شيء , هذا كل ما تحتاج إلى معرفته الآن (بجدية!).
لاحظ أن مفهوم المشتق عند نقطة معينة \(x_0\) يتم تفسيره على أنه معدل التغيير الفوري للدالة عند تلك النقطة. يتم تحقيق ذلك عن طريق حساب متوسط معدل التغيير لفاصل عرض \(\Delta x\) , وأخذ ذلك \(\Delta x\) عندما يقترب من الصفر.
حان الوقت للبحث عن بعض الأمثلة الدقيقة لفهم ما يجري:
مثال : احسب مشتق الوظيفة \(f(x) = x^2\) عند النقطة \(x_0 = 2\)
حل : نحن ببساطة نستخدم التعريف ونستبدل المصطلحات المقابلة. دعونا نرى ما نحصل عليه:
\[f'(2) = \lim_{x\to 2} \frac{x^2-2^2}{x-2}\]لقد استبدلنا ببساطة \(f(x) = x^2\) و \(x_0 = 2\) في التعريف الأصلي للمشتق. الآن , لاحظنا أن \(x^2 - 2^2 = (x-2)(x+2)\) , وجدنا ذلك
\[f'(2) = \lim_{x\to 2} \frac{x^2-2^2}{x-2} = \lim_{x\to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}= \lim_{x\to 2} (x+2) = 4\]في الدرس التالي سوف نتعلم المزيد من الأشياء حول كيفية حساب المشتقات.
(تابع إلى الدروس المشتقات 2 )