可逆矩阵计算器

线性代数的中心元素之一是矩阵的概念。矩阵是按行和列组织的数字数组。

矩阵运算可以直观地定义,尤其是当您对矩阵求和或相减时,最终您所做的就是逐个组件地进行加减运算。

的想法 矩阵乘法 对于未启动的人来说稍微不那么直观,但是,你必须在这里相信我,矩阵乘法以它的方式定义是有充分理由的。

你用逆矩阵做什么？

• 当矩阵可逆时,您可以计算其逆矩阵
• 您可以使用逆矩阵自由移动"到等式的另一边"
• 这使您可以通过以下方式简单地求解方程组 求矩阵的逆

什么是矩阵的逆？

方阵（即具有相同行数和列数的矩阵）可以可逆或不可逆。

对于矩阵 \(A\) 可逆意味着存在另一个矩阵 \(B\) 使得 \(A\) 和 \(B\) 的乘积等于单位矩阵（一个特殊的矩阵对角线,对角线之外的零）。

你可能会问,为什么你会对矩阵是否可逆感兴趣？好问题。当矩阵可逆时,我们可以"将矩阵传递到另一边",就像在简单的数字方程中一样。

在这种情况下,您可以 求矩阵的逆 然后你将矩阵的逆"传递"到等式的另一边

实际上,如果你有一个矩阵方程\( Ax = b \),并且\(A\)是可逆的,那么这个方程就有一个唯一解,可以写成\(x = A^{-1} b\),其中\(A^{-1}\)是 A 的逆矩阵,假设它存在。

什么时候矩阵是可逆的？

有很多很多方法来表征矩阵是否可逆。您可以应用不同的"测试"来判断矩阵是否可逆。您选择的测试有时取决于矩阵的结构。

评估矩阵是否可逆的一种常用测试是首先计算 矩阵的行列式 .如果行列式不为零,则矩阵是可逆的。但是如果它为零,那么矩阵是不可逆的。很简单吧？

矩阵是可逆的 3x3 吗？如何知道

首先,由于 3x3 是方阵,它是检查其可逆性的候选（非方阵立即丢弃）

所有 2x2 矩阵都是可逆的吗？

一点也不。有很多不可逆的 2x2 矩阵。例如,矩阵

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}\]

是一个不可逆的 2x2 矩阵的简单示例。

你怎么知道一个矩阵是否在没有行列式的情况下是可逆的？

正如我们之前所说,有许多测试可以评估矩阵是否可逆,并且并非所有方法都使用行列式

一种方法是使用高斯方法（使用基本矩阵的运算）来 将矩阵转换为行梯形 ,一旦完成,你看看行梯形的对角线：如果所有的对角线都不为零,那么矩阵是可逆的,如果梯形的对角线上的任何元素都为零,则矩阵不可逆。

示例：矩阵的可逆性

问题： 假设您有以下矩阵：

\[ \begin{bmatrix}2&1&2\\1&4&1\\2&1&3\end{bmatrix}\]

解决方案： 我们需要判断已经提供的\(3 \times 3\)矩阵是否可逆。

第 1 步：使用的方法

有几种方法可以确定矩阵是否可逆。在这种情况下,我们将使用的方法是行列式的方法。

很简单,我们将计算行列式,如果行列式不为零,则矩阵可逆,但等于零,则矩阵不可逆。

第 2 步：行列式的计算

使用子行列式公式,我们得到：

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 3 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 4 \cdot \left( 3 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right) - 1 \cdot \left( 1 \cdot \left( 3 \right) - 2 \cdot \left(1 \right) \right) + 2 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(4 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( 11 \right) - 1 \cdot \left( 1 \right) + 2 \cdot \left( -7 \right) = 7\]

第 3 步：结论

我们得出结论,因为 \(\det A = \displaystyle 7 \ne 0\),那么给定的矩阵是可逆的。