有关此行列式计算器的更多信息。

在线性代数和矩阵的使用中,矩阵行列式的概念\(A\)是一个最重要的概念。

这是因为它的使用与您想要对矩阵进行的几乎所有重要操作相关联,例如验证矩阵的可逆性, 求矩阵的逆 或者 求解系统 .

因此,无论您在使用矩阵时环顾四周,都会以一种或另一种方式找到行列式。因此,熟悉它们非常重要。

这个矩阵计算器如何帮助你

1. 您需要做的就是输入您的矩阵
2. 它需要是方阵,也就是行数和列数相同的矩阵
3. 只需单击按钮,计算器就会显示所有步骤和行列式的最终值
4. 进行行列式计算可能非常费力且容易出错。这个计算器让你摆脱这些问题

如何计算矩阵的行列式？

这可能是一个很长的答案,因为有很多方法可以计算矩阵的行列式。让我们首先说行列式仅计算方阵（这是具有相同行数和列数的矩阵）。

因此,我们可以计算行列式的最小矩阵是 2x2 矩阵。让我们考虑一个通用的 2x2 矩阵,如下所示：

\[ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\]

行列式的公式是什么？在这种情况下,矩阵 \(A\) 的行列式简单地计算为 \(\det(A) = a d - bc\)

例如,如果我们有：

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}\]

矩阵 \(A\) 的行列式将是 \(\det(A) = 1 \cdot 3 - 2 \cdot 1 = 3 - 2 = 1\)。容易,对吧？

如何找到 3x3 矩阵的行列式？

现在,对于较大的矩阵,我们基于较小矩阵的子行列式来构建行列式的计算。只是为了让您了解一下,让我们看看一种计算 3x3 矩阵行列式的方法。考虑

\[ A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}\]

在这种情况下,矩阵 3x3 矩阵 \(A\) 的行列式是基于几个 2x2 行列式的运算来计算的

\[\det(A) = a \det \begin{bmatrix}e & f \\ h & i \end{bmatrix} - b \det \begin{bmatrix} d & f \\ g & i \end{bmatrix} + c \det\begin{bmatrix} d & e \\ g & h \end{bmatrix}\]

在上述等式中,值 \(a\),\(b\),\(c\) 起着枢轴的作用,可能会得到负号。枢轴的符号是 \((-1)^{i+j}\),其中对应的枢轴位于行 \(i\) 和列 \(j\)。

例如 \(a\) 在第 1 行第 1 列,所以它的符号是 \((-1)^{1+1} = (-1)^2 = 1\)（正）。此外,\(b\) 位于第 1 行第 2 列,因此其符号为 \((-1)^{1+2} = (-1)^3 = -1\)（负数）,依此类推。

魔术是选择任何行或列作为枢轴。每个枢轴将有一个相关的符号（正或负）和一个子行列式,它们与 基质辅因子 .

该子行列式是删除行 \(i\) 和列 \(j\) 后原始矩阵的实际行列式,用于在行 \(i\) 和列 \(j\) 中的枢轴。

最合乎逻辑的约定表示为枢轴选择具有最多零的行或列,以便尽可能避免计算一些子行列式。

如何找到 3x4 矩阵的行列式？

你做不到。 3x4 矩阵不是方阵,因此无法计算行列式。为了计算行列式,矩阵需要具有相同的行数和列数。

一个 4x4 行列式计算器

对于较大的矩阵,方法是相同的：为枢轴选择一行或一列,理想情况下是零最多的。找到每个枢轴对应的符号,并找到对应的子行列式。

因此,您将 4x4 矩阵的行列式的计算简化为四个 3x3 行列式的运算。反过来,每个 3x3 行列式中的每一个都被发现是几个 2x2 行列式的运算,我们知道一个公式。

所以,它很快就会变得一团糟。

矩阵行列式的计算示例

问题： 考虑以下矩阵：

\[ \begin{bmatrix}1&2&3\\3&1&4\\2&3&8\end{bmatrix}\]

计算给定矩阵的行列式,显示步骤。

解决方案： 我们需要计算已提供的 \(3 \times 3\) 矩阵的行列式。

使用子行列式公式,我们得到：

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 3&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 8 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \cdot \left( 8 \right) - 3 \cdot \left(4 \right) \right) - 2 \cdot \left( 3 \cdot \left( 8 \right) - 2 \cdot \left(4 \right) \right) + 3 \cdot \left( 3 \cdot \left( 3 \right) - 2 \cdot \left(1 \right) \right)\] \[ = 1 \cdot \left( -4 \right) - 2 \cdot \left( 16 \right) + 3 \cdot \left( 7 \right) = -15\]

结论 ：根据上面的计算,发现矩阵的行列式是\(\det A = \displaystyle -15\)。

您可以使用的其他有用的矩阵计算器

手工完成的矩阵计算是劳动密集型的,因此您可以利用我们的线性代数求解器。

首先,您可以使用此逆矩阵计算器来计算显示步骤的矩阵的逆矩阵,您可以通过 伴随法 ,或通过使用 RREF 减少 .