Калькулятор формулы расстояния

Расстояние между двумя точками евклидовой плоскости — одно из основных понятий геометрии. Хотя это не статическая или универсальная концепция, поскольку в математике существует множество потенциальных мер "расстояния".

Действительно, разные типы геометрии могут использовать разные типы расстояний. И все эти геометрии, включая евклидову геометрию, определяют расстояния, которые являются логичными и последовательными, и сохраняют все свойства, которые ожидаются от расстояния.

Как рассчитать расстояние?

Этот калькулятор основан на расстоянии для евклидовой геометрии. Предположим, что у нас есть две точки \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\), тогда формула расстояния вычисляется следующим образом, используя следующую формулу:

\[ D = \displaystyle \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} \]

Обычно это формула расстояния между двумя точками, которая наиболее часто интерпретируется как фактическое физическое расстояние, воспринимаемое нашими органами чувств.

Зачем мы рассчитываем расстояние?

Расстояние — одно из самых основных геометрических понятий, которыми обладает человечество, и концепция расстояния легла в основу многих идей геометрии, которая, в свою очередь, положила начало математике как дисциплине.

Вычисление расстояний связано со многими практическими вещами, например с определением расстояния до предметов, особенно когда предметы не находятся в непосредственной близости, для чего четкое представление о расстоянии играет решающую роль.

Пояснение формулы расстояния

Выражение выше определяет, как использовать формулу для данных двух точек. Делается это просто: вычитаются первая компонента точки 1 и первая компонента точки 2, а результат возводится в квадрат.

То же самое проделывается и со второй точкой: вычитаются вторая компонента точки 1 и вторая компонента точки 2, а результат возводится в квадрат. Эти два квадрата значения складываются, и из результата вы извлекаете квадратный корень. Последнее число, которое вы получите, — это расстояние

Как вы решаете проблемы на расстоянии?

На этот вопрос нет однозначного ответа, поскольку проблемы с расстоянием могут принимать разные формы. Обычно вам дадут два балла и попросят рассчитать расстояние . Возможно, это самый простой тип, который вы получите.

Но тогда вы можете идти так сильно, как пожелаете. Например, вы даете кружкам (с соответствующим уравнения круга ) и спросите, какие точки в кругах находятся на определенном фиксированном расстоянии \(D\). Такая задача определенно сложнее предыдущей.

Вопросы по формуле расстояния могут быть самых разных форм и форм, и они могут быть настолько сложными, насколько вы можете себе это представить. Конечно, на базовом курсе вы, скорее всего, будете применять формулу только напрямую.

Что является примером расстояния?

Геометрические расстояния являются наиболее яркими примерами расстояний. Например, если у вас есть квадрат стороны 2 нижний левый угол которого находится в начале координат, и вы хотите вычислить расстояние между нижним левым углом и верхним правым углом вы вычисляете:

\[ D = \displaystyle \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} = \displaystyle \sqrt{(0 - 2)^2 + (0 - 2)^2} = \displaystyle \sqrt{2^2 + 2^2} = \displaystyle \sqrt{8} = \displaystyle 2 \sqrt{2} \]

Есть и другие примеры расстояний, интерпретация которых аналогична расстоянию, которое вы найдете в физике. Действительно, они тесно связаны, но здесь есть много тонкостей.

Каким образом это связано с формулой средней точки?

Формула средней точки тесно связана с формулой расстояния, поскольку середина — это определенная точка, обладающая тем особым свойством, что расстояние от одной из точек до нее равно половине общего расстояния.

Примеры

Предположим, что у нас есть две точки \((1, 3)\) и \((4, 8)\), тогда формула расстояния вычисляется следующим образом:

\[ D = \displaystyle \sqrt{(1 - 4)^2 + (3 - 8)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \]

Квадратный корень над \(\sqrt 34\) невозможно упростить, поэтому мы оставляем его таким. Иногда вас попросят дать приблизительный десятичный ответ, в данном случае это \(\sqrt 34 \approx 5.8310 \).

Больше примеров

Как обращаться с формулой расстояния с дробями? Это все та же механика. Предположим, что у нас есть две точки \((\frac{1}{2}, \frac{1}{4})\) и \((\frac{3}{5}, \frac{3}{4})\), тогда формула расстояния вычисляется следующим образом:

\[ D = \displaystyle \sqrt{ \left(\frac{1}{2} - \frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{1}{4} - \frac{3}{4}\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{1}{10}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{100} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{13}{50}} \approx 5.8310 \]

Должно ли расстояние быть двумерным?

Не обязательно. На самом деле в n-мерном пространстве могут быть две точки: \(u = (u_1, u_2, ..., u_n)\) и \(v = (v_1, v_2, ..., v_n)\). Расстояние теперь рассчитывается путем возведения разностей всех компонентов в квадрат, их сложения и извлечения квадратного корня:

\[ D = \displaystyle \sqrt{(u_1 - v_1)^2 + (u_2 - v_2)^2 + ... + + (u_n - v_n)^2} \]

Имеет ли расстояние какое-либо отношение к пифагору?

Держу пари, что так и есть! Как правильно подсказывает ваша интуиция, квадратный корень из суммы квадратов во многом напоминает корень из суммы квадратов. Теорема Пифагора а также что ты делаешь, когда решать треугольники .

Это потому, что мы определяем расстояние между двумя точками в пифагорейской геометрии как размер гипотенузы треугольника, вершины которого определяются заданными точками.

Или, альтернативно, вы можете получить эти две точки и вычислить середина .