Подробнее об этом калькуляторе матрицы кофакторов.

Кофакторы тесно связаны с обратной матрицей, и они являются ступенькой к сопряженный метод использовал к вычислить обратную матрицу (когда он есть).

Вероятно, не зная об этом, вы имели дело с кофакторами при вычислении определитель матрицы размером 3х3 или больше. Итак, как вы подозреваете, кофакторы связаны с определителями, полученными при удалении одной строки и одного столбца.

Как найти кофактор матрицы?

Первым делом нужно вычислить матрицу миноров. Итак, для данной матрицы n x n \(A\) элемент в i-й строке и j-м столбце матрицы миноров равен определителю подматрицы, образованной удалением i-й строки и j -й столбец данной матрицы \(A\).

Итак, если мы назовем \(A[i,j]\) подматрицу, полученную удалением i-й строки и j-го столбца \(A\), формально мы определим матрицу миноров \(M\) как :

\[ M_{ij} = \det A[i,j]\]

Обратите внимание, что если \(A\) является матрицей размера n x n, то \(M\) также имеет размер n x n.

Итак, что такое кофакторная матрица?

Почти готово. Итак, миноры — это матрица, содержащая все эти определители соответствующих подматриц, полученные удалением одной строки и одного столбца. Кофактор почти такой же, за исключением того, что вы добавляете знак (положительный или отрицательный) в зависимости от i и j.

Действительно, матрица кофакторов \(C\) определяется как:

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} = (-1)^{i+j} \det A[i,j]\]

Это очень похоже на то, что вы используете при вычислении определителей, а? Итак, чтобы вычислить матрицу кофакторов, вам нужно вычислить кучу определителей .

Как использовать этот калькулятор матрицы Cofactor с шагами

Чтобы использовать этот калькулятор кофактора, все, что вам нужно сделать, это предоставить матрицу \(A\). Калькулятор проведет вас через процесс вычисления миноров и знаков, чтобы добраться до кофакторов.

Пример расчета матрицы кофакторов

Вопрос: Предположим, у вас есть следующая матрица

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{bmatrix} \]

Отвечать: Нам нужно вычислить кофакторную матрицу предоставленной матрицы \(3 \times 3\).

Сначала мы вычисляем матрицу миноров. Имеем, что по определению матрица миноров \(M\) определяется формулой

\[ M_{ij} = \det A^{i,j}\]

где в данном случае \( A^{i,j}\) — это матрица \(A\) после удаления строки \(i\) и столбца \(j\).

Следовательно, и на основе матрицы \(A\) при условии, что мы получаем следующие коэффициенты матрицы миноров:

Для \(A^{ 1, 1}\):

\[M_{ 1 1} = \det A^{ 1 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 3 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 5\]

Для \(A^{ 1, 2}\):

\[M_{ 1 2} = \det A^{ 1 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 3\]

Для \(A^{ 1, 3}\):

\[M_{ 1 3} = \det A^{ 1 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(3 \right) = -1\]

Для \(A^{ 2, 1}\):

\[M_{ 2 1} = \det A^{ 2 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 3\]

Для \(A^{ 2, 2}\):

\[M_{ 2 2} = \det A^{ 2 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Для \(A^{ 2, 3}\):

\[M_{ 2 3} = \det A^{ 2 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = -1\]

Для \(A^{ 3, 1}\):

\[M_{ 3 1} = \det A^{ 3 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 3&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 3 \cdot \left(1 \right) = -1\]

Для \(A^{ 3, 2}\):

\[M_{ 3 2} = \det A^{ 3 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(1 \right) = -1\]

Для \(A^{ 3, 3}\):

\[M_{ 3 3} = \det A^{ 3 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 3 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) = -1\]

Подводя итог, матрица несовершеннолетних выглядит следующим образом:

\[M = \begin{bmatrix} \displaystyle 5&\displaystyle 3&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle 3&\displaystyle 1&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -1&\displaystyle -1 \end{bmatrix} \]

Теперь мы можем вычислить элементы матрицы кофакторов \(C\), используя формулу

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\]

Приведенную выше формулу можно использовать напрямую, поскольку миноры уже известны. Мы получаем

\[ C_{ 1 1} = (-1)^{ 1+1} \cdot 5 = (-1)^{ 2} \cdot 5 = 5\] \[C_{ 1 2} = (-1)^{ 1+2} \cdot 3 = (-1)^{ 3} \cdot 3 = -3\] \[C_{ 1 3} = (-1)^{ 1+3} \left(-1\right)= (-1)^{ 4} \left(-1\right) = -1\] \[C_{ 2 1} = (-1)^{ 2+1} \cdot 3 = (-1)^{ 3} \cdot 3 = -3\] \[C_{ 2 2} = (-1)^{ 2+2} \cdot 1 = (-1)^{ 4} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 2 3} = (-1)^{ 2+3} \left(-1\right)= (-1)^{ 5} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 1} = (-1)^{ 3+1} \left(-1\right)= (-1)^{ 4} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 2} = (-1)^{ 3+2} \left(-1\right)= (-1)^{ 5} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 3} = (-1)^{ 3+3} \left(-1\right)= (-1)^{ 6} \left(-1\right) = 1\]

Подводя итог, матрица кофакторов:

\[C = \begin{bmatrix} \displaystyle 5&\displaystyle -3&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle -3&\displaystyle -1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

чем завершается расчет.