Как использовать этот калькулятор обратной линейной функции

Идея нахождения обратной функции — очень важное понятие в алгебре. Существует формальное определение обратной функции, которая принимает различные формы.

Один из распространенных способов определения функции, обратной заданной функции \(y = f(x) \), заключается в том, что \(f^{-1}(x)\) является обратной, если \(f(f^{-1}(x)) = f^{-1}(f(x)) = x\), для всех \(x\) в соответствующем наборе.

Теперь вычисление обратной функции в целом не обязательно является простым алгебраическим упражнением, поскольку оно обычно включает в себя Решение для х начиная с исходной функции \(y = f(x) \), что может быть алгебраически сложно или невозможно.

Но, когда вы имеете дело с линейная функция формы \(y = ax + b\), то становится немного проще Решите для х и, наконец, найти обратное.

Как найти обратную линейную функцию?

Во-первых, вы начинаете с допустимой линейной функции формы \(y = ax + b\). Ваша первая задача состоит в том, чтобы Решите для х :

\[ax = y-b\] \[\Rightarrow x = \frac{y-b}{a}\]

Теперь вы сделаете острое наблюдение: "Что произойдет, если \(a = 0\)", и вы будете правы в этом. Существует проблема, когда \(a = 0\), и в этом случае вы не можете решить для \(x\) и нет обратного.

Действительно, когда \(a = 0\) оказывается, что исходной функцией на самом деле была \(f(x) = b\), которая является константой, которая не является инъективной, поэтому невозможно однозначно связать изображения и прообразы.

Но мы все в деле, если \(a \ne 0\). Теперь вы замените \(x\) на \(f^{-1}(x)\) и \(y\) на \(x\), и у вас получится фактическая обратная функция:

\[\Rightarrow f^{-1}(x) = \frac{x-b}{a}\]

Как пользоваться этим калькулятором

Чтобы найти обратную линейную функцию с шагами, просто поместите допустимую линейную функцию формы \(y = ax + b\).

Если вы укажете правильную линейную функцию, калькулятор покажет вам все шаги, необходимые для получения обратной функции, а также вы получите график исходной функции и его обратное, если обратное существует.

Обратите внимание, что этот калькулятор работает только для линейных функций. Вычисление обратной функции, которая не является линейной, может быть более сложным, и это не всегда возможно.

Пример

Найдите обратную функцию следующей линейной функции \(y = 3x - 2\).

Отвечать:

Чтобы найти функцию, обратную заданной линейной функции, необходимо выполнить следующие шаги.

Шаг 1 - Решение для x : Первым шагом в поиске обратного уравнения линейного уравнения является решение \(x\):

Нам было предложено следующее уравнение:

\[\displaystyle y=3x-2\]

Помещая \(x\) в левую часть и \(y\) и константу в правую часть, мы получаем

\[\displaystyle 3x = y + 2\]

Теперь, находя \(x\), получаем следующее

\[\displaystyle x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\]

и упрощая все термины, которые нуждаются в упрощении, окончательно получаем следующее

\[\displaystyle x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\]

Следовательно, на основе представленного уравнения мы заключаем, что результатом решения для \(x\) из данного уравнения является \(\displaystyle x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\).

Шаг 2 - Переключение ролей переменных : Теперь, чтобы найти обратную функцию, мы просто меняем значение \(y\) на \(x\) и значение \(x\) на \(f^{-1}(x)\) в предыдущем уравнении, что приводит к:

\[\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\]

Вывод : На основе представленного уравнения найдено, что обратная исходная линейная функция \(y=3x-2\), которая была передана, равна \(\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\).