Как вычислить объединенные дисперсии

A Объединенная дисперсия — это оценка дисперсии генеральной совокупности, полученная на основе дисперсий двух выборок, когда предполагается, что две выборки происходят из генеральной совокупности с одинаковым стандартным отклонением генеральной совокупности.

В этой ситуации ни одна из выборочных дисперсий не является лучшей оценкой, чем другая, и две предоставленные выборочные дисперсии "объединяются" вместе, своего рода средневзвешенным способом, для вычисления объединенной дисперсии.

Как рассчитать объединенную дисперсию?

Формула для расчета объединенной дисперсии с учетом двух выборочных дисперсий:

\[ s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2} \]

С другой стороны, из формулы объединенной дисперсии мы можем вывести, что объединенное стандартное отклонение равно:

\[s_p = \sqrt{ \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}\]

Связь между объединенной дисперсией и суммой квадратов

Отличный способ выражения приведенных выше формул основан на идее Сумма квадратов (\(SS\)). В социальных науках сумма квадратов выборки определяется как

\[SS = \sum_{i=1}^n \left( X - \bar X\right)^2 \]

Но используя определение выборочной дисперсии, можно сразу увидеть, что

\[SS = \sum_{i=1}^n \left( X - \bar X \right)^2 = (n-1) s^2\]

Итак, мы умножаем выборочную дисперсию на \(n-1\) и получаем сумму квадратов \(SS\). Кроме того, мы знаем, что для случая с одной выборкой у нас есть \(df = n-1\). Следовательно, объединенную дисперсию можно очень просто записать как:

\[ s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2} = \frac{ SS_1 + SS_2}{df_1+df_2}\]

Когда использовать объединенные отклонения

Идея объединенных дисперсий требует предположения, что дисперсии генеральной совокупности равны. В случае неравных дисперсий генеральной совокупности вы должны использовать это калькулятор необъединенных отклонений .

Одним из контекстов, в которых используется идея объединенных дисперсий, является t-критерий для двух независимых дисперсий. Для калькулятора t-критерия (где используется идея объединенных дисперсий): проверьте это здесь.

Какова объединенная дисперсия в z-тесте?

Объединенная дисперсия не применяется в случае z-теста, поскольку в этом случае предполагается, что дисперсии совокупности известны, и нет необходимости объединять их для получения наилучшей возможной оценки.

Идея объединенной дисперсии более актуальна, когда дисперсия генеральной совокупности неизвестна и необходимо получить хорошую оценку, и в этом случае объединение дисперсий хорошо справляется с этой задачей.

Какова цель объединенной дисперсии?

Как объяснялось выше, цель расчета пуловой дисперсии состоит в том, чтобы оценить общую дисперсию генеральной совокупности, когда фактическая дисперсия генеральной совокупности неизвестна.

Вот почему важно знать объединенную дисперсию для формула t-теста , потому что это тот случай, когда точно неизвестны дисперсии генеральной совокупности.

Таким образом, объединенная дисперсия в некотором смысле является своего рода средневзвешенное значение отклонений , поэтому постарайтесь получить максимально возможную оценку на основе выборочной информации.

Является ли объединенная дисперсия тем же, что и mse?

В контексте дисперсионный анализ , это. Формула MSE учитывает объединенную дисперсию выборок. В этом случае пул может включать более двух образцов.

Формула объединенной дисперсии для более чем двух выборок является простым расширением формулы для двух выборок.