यूनिट सर्कल
The व rayrत गणित में सबसे अधिक पहचानने योग्य वस्तुओं में से एक है, और यह कई गणित विषयों में बहुत ही ट्रांसवर्सल है, जिसमें बीजगणित, कैलकुलस, ज्यामिति और त्रिकोणमिति शामिल हैं।
दरअसल, यूनिट सर्कल कई गणित अवधारणाओं को समझने के लिए सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली "प्रयोगशालाओं" में से एक है।यूनिट सर्कल बीजगणित (सर्कल के समीकरण के साथ), कैलकुलस (ढलानों, स्पर्शरेखा रेखाओं और क्षेत्रों के साथ), ज्यामिति (कोण, त्रिकोण और पाइथागोरियन प्रमेय के साथ) और त्रिकोणमिति (साइन, कोसाइन, स्पर्शक) को एक स्थान पर पार करता है।
एक यूनिट सर्कल क्या है?
नाम यह स्पष्ट रूप से कहता है: यूनिट सर्कल त्रिज्या \(r=1\)का एक सर्कल है, जिसे सुविधा के लिए मूल \((0, 0)\)पर केंद्रित माना जाता है।ध्यान दें कि हम दो-आयामी मामले के बारे में बात कर रहे हैं।
कोण और इकाई चक्र
यूनिट सर्कल, या किसी भी त्रिज्या का एक चक्र, कोणों के साथ काम करने का एक बहुत ही व्यावहारिक तरीका है।आइए हम एक याद रखें कि एक कोण का माप वृत्त की परिधि की मात्रा के लिए आनुपातिक है जो कोण को फैलाता है।
उदाहरण के लिए, यदि एक कोण परिधि के एक चौथाई हिस्से को फैलाता है, और इसकी उत्पत्ति सर्कल के केंद्र के समान है, तो कोण का माप एक पूर्ण कोण के माप का एक चौथाई है, जो 360/4 = 90 है हे यदि डिग्री में मापा जाता है, या \(2\pi/4 = \pi/2\) यदि रेडियन में मापा जाता है
.ऐसी अन्य परिस्थितियां हैं जिनमें कोण की उत्पत्ति सर्कल के केंद्र के समान नहीं है, जैसे कि नीचे दिए गए ग्राफ के मामले में:
त्रिकोणमितीय कार्य और इकाई चक्र
ट्राइगोनोमेट्रिक फ़ंक्शंस के साथ काम करने के लिए यूनिट सर्कल का उपयोग करना सुपर उपयोगी है।वास्तव में, यह पता चला है कि अगर हमारे पास त्रिज्या \(r\)के साथ एक सर्कल में एक बिंदु \((x,y)\)है, तो हमारे पास वह है
\[\large \sin \alpha = \frac{y}{r}\] \[\large \cos \alpha = \frac{x}{r}\] \[\large \tan \alpha = \frac{y}{x}\]जहां \(\alpha\) नीचे दिए गए आकृति में दिखाया गया कोण है:
लेकिन जब \(r = 1\), यह है, जब त्रिज्या 1 है (जो कि यूनिट सर्कल में मामला है), हम पाते हैं कि
\[\large \sin \alpha = y \] \[\large \cos \alpha = x \] \[\large \tan \alpha = \frac{y}{x}\]
इसलिए, त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ ऑपरेशन बहुत आसान होता है जब एक सर्कल का त्रिज्या 1 होता है, और फिर सब कुछ बहुत अधिक दृश्य हो जाता है।और हम mnemonic नियमों का उपयोग कर सकते हैं जैसे कि "एक कोण की साइन विपरीत पक्ष है" और "कोण का कोसाइन आसन्न पक्ष है"।
यूनिट सर्कल का समीकरण
तो, बड़ा सवाल यह है कि यूनिट सर्कल फॉर्मूला क्या है?एक यूनिट सर्कल के लिए जो मूल में केंद्रित है, समीकरण यह है कि किसी भी बिंदु \((x, y)\) उस पर संतुष्ट है:
\[\large x^2 + y^2 = 1\]कोई भी जोड़ी \((x, y)\) जो त्रिज्या 1 के एक सर्कल से संबंधित है, उसे उपरोक्त को संतुष्ट करना चाहिए।यदि बिंदु \((x, y)\) उपरोक्त को संतुष्ट नहीं करता है, तो यह सर्कल से संबंधित नहीं है।
सामान्य रूप से यूनिट सर्कल फॉर्मूला क्या है?
उपरोक्त सूत्र मूल में केंद्रित यूनिट सर्कल का सिर्फ सबसे सरल मामला है।जब आप सामान्य रूप से सर्कल फॉर्मूला की गणना करना चाहते हैं, तो \((x_0, y_0)\)पर केंद्रित यूनिट सर्कल के लिए, हमें निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:
\[\large (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = 1\]इस अधिक सामान्य मामले के लिए, आप इसका उपयोग कर सकते हैं सराफक , जो आपको एक उपयुक्त द्विघात समीकरण से सर्कल फॉर्मूला में पहुंचने के लिए सभी चरणों को दिखाता है।
आप यूनिट सर्कल को तेजी से कैसे याद करते हैं?
यद्यपि यह कड़ाई से आवश्यक नहीं है, यह यूनिट सर्कल से उल्लेखनीय कोणों को याद करने के लिए उपयोगी साबित हो सकता है।वैज्ञानिक कैलकुलेटरों की पहुंच में आसानी के साथ, यह एक अनावश्यक व्यायाम का एक सा लगता है, लेकिन यह निश्चित रूप से ऐसा करके यूनिट सर्कल की आपकी समझ में मदद करता है।
स्वाभाविक रूप से, आप सभी उल्लेखनीय कोणों (या शायद आप कर सकते हैं) सीखने में सक्षम नहीं होंगे, लेकिन कम से कम \(\pi\), जैसे \(\frac{\pi}{2}\), \(\frac{\pi}{3}\)के सबसे उल्लेखनीय गुणकों को जानना एक अच्छा विचार है,\(\frac{\pi}{4}\), आदि।
इसे यूनिट सर्कल क्यों कहा जाता है?
इसका उत्तर सरल है: इसे एक यूनिट सर्कल कहा जाता है क्योंकि सबसे पहले यह एक सर्कल है, और दूसरा, इसमें 1 के बराबर एक त्रिज्या है। तमाम या अमली भाग इस तथ्य से आता है कि त्रिज्या 1 है।
बीजगणित, कैलकुलस और विश्लेषणात्मक ज्यामिति में योग्यता "यूनिट" का उपयोग करने की आवश्यकता है, क्योंकि सभी सर्कल से निपटने के लिए वास्तव में यूनिट सर्कल नहीं हैं।त्रिकोणमिति में, हालांकि, जब आप एक सर्कल का उल्लेख करते हैं, तो आप आमतौर पर यूनिट सर्कल के बारे में डिफ़ॉल्ट रूप से बात कर रहे हैं, जब तक कि स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट न हो।
क्या यूनिट सर्कल अनंत है?
उस प्रश्न का उत्तर देने के कई तरीके हैं, और उत्तर भिन्न होता है।एक क्षेत्र के अर्थ में, यूनिट सर्कल अनंत नहीं है, क्योंकि इसमें \(\p\)के बराबर क्षेत्र है।
अब, कोई यह तर्क दे सकता है कि यूनिट सर्कल का गठन अनंत संख्या में होता है, जो सच है, और इसका मतलब यह होगा कि यह कुछ अर्थों में "अनंत" है।
तो जवाब वास्तव में इस बात पर निर्भर करता है कि आप "अनंत" के रूप में क्या परिभाषित करते हैं।
तंग 1
क्या बिंदु \(\displaystyle (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})\) यूनिट सर्कल से संबंधित है?।
Lendur:
हमें सत सत kirने क r की आवश t आवश आवश है कि कि बिंदु बिंदु बिंदु बिंदु बिंदु बिंदु बिंदु बिंदु बिंदु कि कि कि कि कि कि कि है है है
\[\large x^2 + y^2 = \left(\frac{\sqrt 2}{2}\right)^2+ \left(\frac{\sqrt 2}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} + \frac{2}{4} = 1 \]तो इस ranak में, बिंदु \( \displaystyle (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})\) यूनिट यूनिट यूनिट यूनिट स से है है है संबंधित
तंग 2
कthapana बिंदु \(\displaystyle (\frac{1}{2}, \frac{2}{3})\) यूनिट यूनिट यूनिट स से से संबंधित संबंधित है है है संबंधित संबंधित संबंधित
लेंडुर:
हमें यह सत kir ने क rur ने की की आवश आवश कि कि कि कि कि बिंदु बिंदु बिंदु बिंदु बिंदु कि बिंदु बिंदु कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि कि बिंदु बिंदु कि बिंदु बिंदु बिंदु बिंदु बिंदु
\[\large x^2 + y^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2+ \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{4}{9} = \frac{25}{36} \]तो इस रनक में, में \( \displaystyle (\frac{1}{2}, \frac{2}{3})\) यूनिट यूनिट स से संबंधित नहीं नहीं नहीं नहीं नहीं नहीं नहीं नहीं नहीं नहीं नहीं नहीं नहीं नहीं नहीं नहीं नहीं नहीं नहीं नहीं नहीं
यूनिट rurch के के के में में में में में में में में में
मुझे हमेशा प्राप्त होने वाले प्रश्नों में से एक यह है कि यूनिट सर्कल का समीकरण एक फ़ंक्शन का वर्णन करता है या नहीं।जवाब न है।दरअसल, यूनिट सर्कल का समीकरण एक संबंध को परिभाषित करता है, इसके बजाय।
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ऊपर दिए गए ग्राफ में देखें, और हम देख सकते हैं कि हमारे पास यह ऊर्ध्वाधर रेखा है जो ग्राफ को एक से अधिक बिंदुओं पर पार करती है।निष्कर्ष यह है कि ग्राफ एक संबंध का प्रतिनिधित्व करता है, एक फ़ंक्शन नहीं।
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