मैट्रिसेस का उपयोग करके समीकरण की एक प्रणाली को हल करना

Rurैखिक rayrणों की प rasranauta को हल हल आसानी से सबसे व्यावहारिक कौशल में से एक हो सकता है जिसे आप कभी भी बीजगणित में सीखेंगे, या यहां तक कि गणित भी।

इसका कारण यह है कि अनगिनत वास्तविक जीवन अनुप्रयोग जो वास्तव में उपयोगी होते हैं, रैखिक समीकरणों की प्रणालियों का उपयोग करके हल किए जाते हैं।

सिस्टम को हल करने के लिए कई कार्यप्रणाली हैं, जो आमतौर पर विभिन्न दृष्टिकोणों का उपयोग करते हैं।एक सामान्य दृष्टिकोण मैट्रिक्स दृष्टिकोण है, जिसमें पहले शामिल हैं Rayrण की t प t प t को t मैट t मैट t मैट t मैट t मैट t मैट rur में ।

आप matrices का उपयोग करके समीकरणों की एक प्रणाली को कैसे हल करते हैं?

Letsunt 1: रैखिक समीकरणों को मैट्रिक्स में परिवर्तित करें, जहां आप \(A\) (गुणांक का मैट्रिक्स जो संबंधित) चर और \(b\) (दाहिने हाथ के साइड गुणांक का वेक्टर) की पहचान करते हैं।

Therur the: मैट्रिक्स के व्युत्क्रम की गणना करें \(A\), जिसे हम \(A^{-1}\) कहते हैं।

Theirण 3: सिस्टम का समाधान \(x = A^{-1} b\) पाया जाता है।क्रम में, आप समाधान के साथ वेक्टर प्राप्त करने के लिए \(b\) द्वारा \(A\) के व्युत्क्रम को गुणा करते हैं।

ध्यान दें कि यह काफी सरल लगता है, लेकिन उलटा \(A^{-1}\) खोजने के लिए बहुत सारी गणनाएं शामिल हैं, खासकर अगर मैट्रिक्स का आकार बड़ा है।एक 4x4 और उससे ऊपर के लिए यह काफी लंबा हो सकता है।

तो, आप एक कैलकुलेटर पर सिस्टम को कैसे हल कर सकते हैं?

प्रत्येक कैलकुलेटर के आधार पर विवरण विशेष रूप से भिन्न होते हैं।प्रत्येक मशीन में एक प्रणाली को इनपुट करने के लिए अपना था और प्रारूप होगा।हमारे कैलकुलेटर के मामले में, आपको सिस्टम को निर्दिष्ट करने के लिए आपको उन गुणांक का एक स्पष्ट दृश्य पैनोरमा मिलता है, जिन्हें आपको भरना होगा।उसके बाद, कैलकुलेटर आपको सभी प्रासंगिक चरणों को दिखाएगा।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली की स्थिरता क्या है

संगति का अर्थ है कि समीकरण कुछ ऐसा नहीं करता है जो असंभव है, जैसे "2 = 3"।आमतौर पर, एक प्रणाली को हल करने का प्रयास करने से पहले, इस मामले में कि आपके पास समान संख्या में समीकरण और चर हैं, आप पहले मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करते हैं।

यदि निर्धारक शून्य से अलग है, तो आप व्युत्क्रम की गणना के साथ सुरक्षित रूप से आगे बढ़ सकते हैं, और आपको गारंटी दी जाती है कि सिस्टम में कोई असंगतता नहीं है।

अगर मैट्रिक्स नहीं है तो क्या करें: गॉस एलिमिनेशन

गुणांक के मैट्रिक्स के व्युत्क्रम की गणना करके एक प्रणाली को हल करने की यह विधि और इसे बी से गुणा करें केवल तभी काम करता है जब चर की संख्या समीकरणों की संख्या के समान हो।यदि ऐसा नहीं है, तो अगर गॉस एलिमिनेशन का उपयोग करना उचित होगा।

उदाहरण

समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली पर विचार करें:

\[ \begin{aligned} 2 x&\, + \, & y&\, + \, &2 z & \, = \,1\\ x&\, + \, & y&\, + \, & z & \, = \,2\\ x&\, + \, & y&\, + \, &2 z & \, = \,3 \end{aligned}\]

Matrices का उपयोग करके उपरोक्त प्रणाली को हल करें।

तमाम: एक \(3 \times 3\) रैखिक समीकरणों की प्रणाली प्रदान की गई है और हमें इस प्रणाली को मैट्रिसेस का उपयोग करके हल करने की आवश्यकता है।

चरण 1: इसी मैट्रिक्स संरचना का पता लगाएं

पहले चरण में संबंधित मैट्रिक्स \(A\) और वेक्टर \(b\) खोजने के लिए शामिल हैं जो सिस्टम को \(A x = b\) के रूप में लिखने की अनुमति देते हैं।

इस मामले में, और प्रदान किए गए समीकरणों के गुणांक के आधार पर, हम इसे प्राप्त करते हैं

\[ A = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{bmatrix} \]

और

\[ b = \begin{bmatrix} \displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 3 \end{bmatrix} \]

चरण 2: मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करें

अब, हमें यह जानने के लिए \(A\) के निर्धारक की गणना करने की आवश्यकता है कि हम मैट्रिक्स के व्युत्क्रम की गणना कर सकते हैं या नहीं \(A\):

उप-निर्धारण सूत्र का उपयोग करके हमें मिलता है:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right) - 1 \cdot \left( 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right) + 2 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left( 1 \right) + 2 \cdot \left( 0 \right) = 1\]

चूंकि \(\det(A) = \displaystyle 1 \ne 0\), हम निष्कर्ष निकालते हैं कि मैट्रिक्स उल्टा है, और हम उलटा की गणना के साथ जारी रख सकते हैं।

चरण 3: उलटा गणना

अब हम नाबालिग मैट्रिक्स की गणना करते हैं।हमारे पास, परिभाषा के अनुसार, नाबालिगों मैट्रिक्स \(M\) सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है

\[ M_{ij} = \det A^{i,j}\]

जहां इस मामले में \( A^{i,j}\) मैट्रिक्स \(A\) पंक्ति को हटाने के बाद \(i\) और कॉलम \(j\) है।

इसलिए, और मैट्रिक्स के आधार पर \(A\) बशर्ते हम माइनर्स मैट्रिक्स के निम्नलिखित गुणांक प्राप्त करें:

के लिए \(A^{ 1, 1}\):

\[M_{ 1 1} = \det A^{ 1 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

के लिए \(A^{ 1, 2}\):

\[M_{ 1 2} = \det A^{ 1 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

के लिए \(A^{ 1, 3}\):

\[M_{ 1 3} = \det A^{ 1 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 0\]

के लिए \(A^{ 2, 1}\):

\[M_{ 2 1} = \det A^{ 2 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = 0\]

के लिए \(A^{ 2, 2}\):

\[M_{ 2 2} = \det A^{ 2 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = 2\]

के लिए \(A^{ 2, 3}\):

\[M_{ 2 3} = \det A^{ 2 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

के लिए \(A^{ 3, 1}\):

\[M_{ 3 1} = \det A^{ 3 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = -1\]

के लिए \(A^{ 3, 2}\):

\[M_{ 3 2} = \det A^{ 3 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = 0\]

के लिए \(A^{ 3, 3}\):

\[M_{ 3 3} = \det A^{ 3 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

संक्षेप में, नाबालिग मैट्रिक्स है:

\[M = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle 0&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

अब, हम कॉफ़ेक्टर मैट्रिक्स के तत्वों की गणना कर सकते हैं \(C\) सूत्र का उपयोग करके

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\]

उपरोक्त सूत्र का सीधे उपयोग किया जा सकता है क्योंकि नाबालिगों को पहले से ही जाना जाता है।हम पाते हैं

\[ C_{ 1 1} = (-1)^{ 1+1} \cdot 1 = (-1)^{ 2} \cdot 1 = 1\] \[C_{ 1 2} = (-1)^{ 1+2} \cdot 1 = (-1)^{ 3} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 1 3} = (-1)^{ 1+3} \cdot 0 = (-1)^{ 4} \cdot 0 = 0\] \[C_{ 2 1} = (-1)^{ 2+1} \cdot 0 = (-1)^{ 3} \cdot 0 = 0\] \[C_{ 2 2} = (-1)^{ 2+2} \cdot 2 = (-1)^{ 4} \cdot 2 = -2\] \[C_{ 2 3} = (-1)^{ 2+3} \cdot 1 = (-1)^{ 5} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 3 1} = (-1)^{ 3+1} \left(-1\right)= (-1)^{ 4} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 2} = (-1)^{ 3+2} \cdot 0 = (-1)^{ 5} \cdot 0 = 0\] \[C_{ 3 3} = (-1)^{ 3+3} \cdot 1 = (-1)^{ 6} \cdot 1 = -1\]

इसलिए, कॉफ़ेक्टर मैट्रिक्स है:

\[C = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle -1&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -2&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -1 \end{bmatrix} \]

अब, हमें बस उस कॉफ़ेक्टर मैट्रिक्स को स्थानांतरित करने की आवश्यकता है जिसे हमने आसन्न मैट्रिक्स की गणना करने के लिए पाया है।हम पाते हैं:

\[adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle -1&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -2&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -1 \end{bmatrix} ^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -2&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -1&\displaystyle -1 \end{bmatrix} \]

अंत में, हमें आसन्न मैट्रिक्स के प्रत्येक घटक को \(\displaystyle \frac{1}{\det(A)} = \frac{1}{1} = 1\) से गुणा करने की आवश्यकता है, जो आसन्न को प्रभावित नहीं करता है।तो हम मिलते हैं:

\[A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -2&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -1&\displaystyle -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -2&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -1&\displaystyle -1 \end{bmatrix} \]

चरण 4: समाधान की गणना करना

अब जब हम जानते हैं \(A^{-1}\), समाधान के वेक्टर की गणना की जाती है:

\[ x = A^{-1} b = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -2&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -1&\displaystyle -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle 1\cdot 1+0\cdot 2+1\cdot 3\\[0.6em]\displaystyle -1\cdot 1+\left(-2\right)\cdot 2+0\cdot 3\\[0.6em]\displaystyle 0\cdot 1+\left(-1\right)\cdot 2+\left(-1\right)\cdot 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle -2\\\\\displaystyle 3\\\\\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

इसलिए, और संक्षेप में, समाधान वेक्टर है

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle x\\\\\displaystyle y\\\\\displaystyle z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle -2\\\\\displaystyle 3\\\\\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

जो दिए गए रैखिक प्रणाली के लिए समाधानों की गणना का समापन करता है।