पैराबोला
एक पैराबोला समन्वय अक्ष में बिंदुओं का ज्यामितीय जगह है जिसमें संपत्ति है कि वे एक निश्चित बिंदु (जिसे फोकस कहा जाता है) और एक पंक्ति (जिसे डायरेक्ट्रिक्स कहा जाता है) से समतुल्य है।
मुझे पता है कि थोड़ा सा तकनीकी लगता है, लेकिन हम इसके माध्यम से जाएंगे, और अंत में आप देखेंगे कि यह मुश्किल नहीं है।
तो, अगर मैंने यह बताया कि यह मदद करेगा
फ़ंक्शन \(f(x) = x^2\) एक पेराबोला का प्रताधिकितता है?
यकीन है कि यह मदद करेगा।और आप सोच रहे होंगे "आपने मुझे शुरुआत से क्यों नहीं बताया कि पैराबोला वह समारोह है?"।
क्योंकि एक पैराबोला नहीं है, उनमें से एक अनंत संख्या है।और एक पैराबोला को एक समारोह द्वारा भी प्रदर्शित नहीं किया जाना चाहिए।हां, कुछ संबंध पैराबोलस हैं, जैसा कि हम देखेंगे।
एक बात का उल्लेख किया जाना महत्वपूर्ण है: कार्यों और संबंधों का उपयोग करके, परबोलस हैं जो \(y\)-अक्ष के साथ "खोलें" हैं, और parabolas हैं जो \(x\)- अक्ष के साथ "खोलें"।
अंत में, समरूपता से, यह महसूस करना आसान है कि वाई-अक्ष के साथ "खुले" परबोलस में समान संरचना होती है जो एक्स-अक्ष के साथ "खुली" होती हैं, इसलिए यह सीखने के लिए पर्याप्त है कि कैसे सीखना हैएक प्रकार को संभालें।
पैराबोला के सामान्य समीकरण
एक डायरेक्ट्रिक्स और फोकस के स्थान के आधार पर पैराबोला के समीकरण को प्राप्त करने के लिए सरल व्युत्पन्न हैं, लेकिन हम इस परिचय में व्युत्पत्ति छोड़ देंगे।
नीचे दिए गए ग्राफ की जाँच करें।हमें पैराबोला के कुछ महत्वपूर्ण तत्वों की पहचान करने की आवश्यकता है: हमारे पास वर्टेक्स, फोकस और डायरेक्ट्रिक्स है।
हम बहुत विस्तार से नहीं करेंगे, लेकिन हम मूल पर वर्टेक्स के साथ एक सामान्य पराबोला के समीकरण का कहना है, फोकस \((0, a)\) और directrix \(y = -a\) के बराबर है
यह पैराबोला पैराबोला का प्रकार है जो वाई-अक्ष के साथ खुलता है।
अब उत्पत्ति पर वर्टेक्स होने के बजाय क्या होता है, हम किसी दिए गए बिंदु \((k,h)\) पर वर्टेक्स रखना चाहते हैं?
खैर, यह एक समन्वय प्रणाली के साथ काम करने का जादू है, और हम सभी को बिंदु बिंदु \((k,h)\) द्वारा अनुवाद करने की आवश्यकता है?लेकिन आप \((k,h)\) द्वारा अनुवाद कैसे करते हैं?
सरल!जहां भी आपके पास \(x\) है, आप इसे \(x-k\) द्वारा प्रतिस्थापित करते हैं, और जहां भी आपके पास \(y\) है, आप इसे \(x-h\) द्वारा प्रतिस्थापित करते हैं।
इसलिए, एक अनुवाद कर रहा है, बिंदु पर एक सामान्य पराबोला का समीकरण बिंदु \((k,h)\) पर, फोकस \((k, h+a)\) और directrix के बराबर \(y = h-a\) के बराबर है
\[\large y-h = 4a(x-k)^2\]जिसे के रूप में लिखा जा सकता है
\[\large \boxed{ y = 4a(x-k)^2 + h }\]पैराबोलस के साथ क्या होता है जो एक्स-अक्ष के साथ खुलता है?
समरूपता द्वारा, यह केवल parabola के समीकरण में \(x\) और \(y\) की भूमिकाओं को बदलकर प्राप्त किया गया है जो हमारे पास पहले से है।व्यावहारिकता में, इसका मतलब यह है कि जहां भी \(x\) पराबोला के समीकरण में दिखाई देता है, हम इसे \(y\) बदलते हैं, और इसके विपरीत \(y\) के लिए।
इसलिए, बिंदु \((h,k)\) पर वर्टेक्स के साथ एक सामान्य पराबोला का समीकरण, फोकस \((h+a, k)\) और directrix \(x = h-a\) के बराबर है:
\[\large \boxed{ x = 4a(y-k)^2 + h }\]अंतर पर ध्यान दें:
जब एक पैराबोला के पास \(y = -a\) रूप का निर्देशन होता है, तो पैराबोला वाई-अक्ष (ऊपर या नीचे (ऊपर या नीचे के आधार पर निर्भर करता है या निर्देशक के नीचे या नीचे है) के साथ खुलता है।
जब एक पैराबोला के पास \(x = -a\) के रूप का निर्देशन होता है, तो पैराबोला एक्स-अक्ष (बाएं या दाएं के साथ खुलता है (इस पर निर्भर करता है कि डायरेक्ट्रिक्स के बाईं ओर या दाएं)।
उदाहरण 1
पैराबोला के समीकरण को ढूंढें जिसमें एक डायरेक्ट्रिक्स _ xyz _ _ और एक फोकस _ xyz_b _ है।वर्टेक्स को भी ढूंढें।
उत्तर:
वर्टेक्स पैराबोला पर है, इसलिए यह डायरेक्ट्रिक्स \(y = -4\) और फोकस \((0, 4)\) से समग्र है, इसलिए वर्टेक्स \(0, 0)\) है।दूसरी ओर, मूल पर वर्टेक्स के साथ एक पैराबोला के लिए, डायरेक्ट्रिक्स का समीकरण \(y = -a\) है, इसलिए इस मामले में \(a = 4\)।नतीजतन, पैराबोला का समीकरण है
\[ \large y = 4ax^2 = 4(4)x^2 = 16x^2 \]ग्राफिक रूप से:
उदाहरण 2
Parabola \(y = 8x^2 - 16x + 9\) के वर्टेक्स, फोकस और डायरेक्ट्रिक्स का पता लगाएं।
उत्तर:
सबसे पहले, हमें वर्ग को पूरा करने की आवश्यकता है:
\[\large y = 8x^2 - 16x + 9 = 8(x^2 - 2x) + 9 \] \[\large = 8(x^2 - 2x + 1 - 1) + 9 \] \[\large = 8(x^2 - 2x + 1) + 9 - 8 \] \[\large = 8(x-1)^2 + 1 \]सामान्य समीकरण के साथ इसे समझना, हम पाते हैं कि वर्टेक्स बिंदु \((1, 1)\) पर है, और हमारे पास \(4a = 8\), इसलिए \(a = 2\) भी है, इसलिए, डायरेक्ट्रिक्स \(y = h - a = 1 - 2 = -1\) है और फोकस \((k, h + a) = (1, 1+2) = (1, 3)\) है।
ग्राफिक रूप से:
पैराबोला और सामान्य शंकु वर्ग
जितना अजीब हो सकता है, पैराबोला शंकु से कसकर संबंधित है।आप कैसे कहेंगे?अपोलोनियस नामक एक यूनानी गणितज्ञों को शंकु वर्गों के समन्वय प्रणाली का उपयोग करके आधुनिक संस्करण के साथ योगदान देने के साथ क्रेडिट है।
अपोलोनियस और अन्य गणितज्ञों ने पाया कि जब आप एक विमान के साथ शंकु काटते हैं, तो शंकु और विमान के सापेक्ष कोण के आधार पर, शंकु इस तरह से कटौती की जाती है कि अनुभाग में अलग-अलग आकार हैं।
खंडों के विभिन्न आकार, कट के सापेक्ष कोण के आधार पर हम पैराबोला, सर्कल, अंडाकार, और हाइपरबोला के रूप में जानते हैं, जैसा कि नीचे दिए गए आंकड़े में दिखाया गया है:
पैराबोला के बारे में अधिक जानकारी
एक सामान्य परावोला जो वाई-अक्ष के साथ खुलती है, उत्पत्ति \((0, 0)\) में वर्टेक्स के साथ निम्नलिखित कार्यात्मक प्रतिनिधित्व \(y = 4ax^2\) है।
फिर, समरूपता द्वारा, एक सामान्य परावोला जो एक्स-अक्ष के साथ खुलती है, मूल पर वर्टेक्स के साथ \((0, 0)\) में निम्नलिखित कार्यात्मक प्रतिनिधित्व \(x = 4ay^2\) है।
फिर, किसी दिए गए बिंदु \((k, h)\) में अनुवाद लागू करके एक सामान्य वर्टेक्स प्राप्त किया जा सकता है।
अनुप्रयोग
पैराबोला में भौतिकी में अनगिनत अनुप्रयोग हैं, क्योंकि गुरुत्वाकर्षण बल और न्यूटन के कानूनों के संचालन के तरीके के कारण, अधिकांश निकायों का प्रक्षेपण एक पैराबॉलिक प्रक्षेपण का पालन करेगा।
इसके अलावा, बीजगणितीय बोलने वाला, पैराबोलस हर समय बीजगणित में दिखाई देता है, क्योंकि सभी वर्गिक कार्यों में एक पैराबॉलिक ग्राफ होता है, और द्विघात कार्य बीजगणित में बहुत कुछ दिखाई देते हैं।
इसके अलावा, माइनिमा और मैक्सिमा को ढूंढते समय पैराबोल कैलकुस में दिखाई देते हैं।यह पता चला है कि कई अधिकतमकरण और न्यूनतमकरण की समस्याओं में अधिकतम या न्यूनतम, अधिकतम या न्यूनतम (पैराबोला ऊपर या नीचे खुलता है) को अधिकतम करने के लिए एक वर्गबद्ध कार्य होता है।
अन्य शंकु वर्गों के बारे में सीखने में रुचि हो सकती है अंडाकार , NS अति और यह वृत्त ।