कल्पना कीजिए कि आपके पास \(f(x)\) फ़ंक्शन है। उदाहरण के लिए आपके पास \(f(x) = x^2\) या शायद \(f(x) = \sin x\) जैसा कुछ हो सकता है। हम फ़ंक्शन \(f(x)\) के व्युत्पन्न को \(x_0\) बिंदु पर परिभाषित करते हैं:

अगर सीमा मौजूद है। शिकायत करने से पहले "यह क्या है ??" मैं आपको कुछ बता दूं, यह जटिल नहीं है क्योंकि यह पहली नजर में लग सकता है। सबसे पहले, यह सीमा क्या है, इसके बारे में कुछ अवलोकन।

• व्युत्पन्न \(f'(x)\) एक समारोह भी है (जब भी इसे परिभाषित किया गया हो)।


• व्युत्पन्न की गणना एक दिए गए बिंदु \(x_0\) पर ऊपर दर्शाई गई सीमा का उपयोग करके की जाती है। यदि यह सीमा मौजूद है, और केवल अगर यह मौजूद है, तो हम कहते हैं कि व्युत्पन्न बिंदु \(x_0\) a पर अच्छी तरह से परिभाषित है, और इसे \(f'(x_0)\) के रूप में लिखा जाता है।


• दूसरे शब्दों में, व्युत्पन्न \(f'(x)\) को एक फ़ंक्शन के रूप में माना जा सकता है जो मूल फ़ंक्शन \(f(x)\) पर निर्भर करता है, और जिसकी गणना बिंदु दर बिंदु की जाती है।


• बस इतना ही, अभी के लिए आपको बस इतना ही जानना है (गंभीरता से!)

ध्यान दें कि किसी दिए गए बिंदु पर व्युत्पन्न की अवधारणा \(x_0\) की व्याख्या उस बिंदु पर फ़ंक्शन के परिवर्तन की तत्काल दर के रूप में की जाती है। यह गणना करके प्राप्त किया जाता है परिवर्तन की औसत दर चौड़ाई के अंतराल के लिए \(\Delta x\), और उस \(\Delta x\) को लेते हुए जब यह शून्य के करीब पहुंचता है।

क्या हो रहा है यह समझने के लिए कुछ साफ-सुथरे उदाहरणों के लिए जाने का समय आ गया है:

उदाहरण : फ़ंक्शन \(f(x) = x^2\) के व्युत्पन्न को \(x_0 = 2\) बिंदु पर परिकलित करें

समाधान : हम केवल परिभाषा का उपयोग करते हैं और संबंधित शब्दों को प्रतिस्थापित करते हैं। आइए देखें कि हमें क्या मिलता है:

हमने व्युत्पन्न की मूल परिभाषा में बस \(f(x) = x^2\) और \(x_0 = 2\) को बदल दिया है। अब, यह देखते हुए कि \(x^2 - 2^2 = (x-2)(x+2)\), हम पाते हैं कि

अगले ट्यूटोरियल में हम डेरिवेटिव्स की गणना करने के तरीके के बारे में और चीजें सीखेंगे।

(ट्यूटोरियल के लिए जारी रखें संजात 2 )