इस क्रैमर के नियम कैलकुलेटर के बारे में

Rurैखिक rayrणों की प rasranauta को हल हल बीजगणित में सर्वोपरि वस्तुओं में से एक है।ऐसा इसलिए है क्योंकि कई अलग -अलग एप्लिकेशन सीधे ऐसी प्रणालियों को हल करने के लिए नेतृत्व करते हैं।

हो सकता है कि आपका एक शब्द समस्या के साथ काम करना, या सेना में सैनिकों को इष्टतम आहार सौंपना, आप किसी तरह की रैखिक प्रणाली पर ठोकर खाएंगे।

और सराफक बड़े को हल करने के लिए सबसे आम दृष्टिकोणों में से एक है Rurैखिक raurणों की प , खासकर जब समीकरणों की संख्या चर की संख्या के समान हो।

ऐसा नहीं है कि क्रैमर का नियम समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए आवश्यक संचालन की संख्या को सरल करेगा, इसकी प्रसिद्धि इस तथ्य पर आधारित है कि यह एक नियम है जिसे याद करना आसान है।

पहला: cramer के नियम की गणना कैसे की जाती है?

Letsunt 1: काम करने के लिए क्रैमर के नियम के लिए, आपको समीकरणों की एक प्रणाली के साथ शुरू करने की आवश्यकता है जिसमें चर की संख्या के समान समीकरणों की संख्या होती है।यदि ऐसा नहीं है, तो रुकें, आप क्रैमर के नियम का उपयोग नहीं कर सकते।

Therur the: मैट्रिक्स रूप में समीकरण की प्रणाली की पहचान करें: \(Ax = b\), जहां \(A\) एक \(n \times n\) मैट्रिक्स है जिसमें गुणांक होते हैं जो चर को गुणा करते हैं और \(A_{ij}\) J को गुणा करने वाला गुणांक है जो J को गुणा करता है ^वां I में चर ^वां समीकरण, और \(b\) आकार का एक वेक्टर है \(n\) जो प्रत्येक समीकरण के सभी दाहिने हाथ की ओर एकत्र करता है।

Theirण 3: मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करें \(A\)।यदि \(\det(A) = 0\), सिस्टम में एक से अधिक समाधान हैं, और क्रैमर का नियम कुछ और नहीं कर सकता है।

Reyrur 4: आप संबंधित मैट्रिक्स को परिभाषित करते हैं \(A^{j}\) मैट्रिक्स \(A\) के समान होने के लिए, सिवाय इसके कि मैट्रिक्स के स्तंभ j \(A\) को \(b\) द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है।

च ५: ५: यदि \(\det(A) \ne 0\), एक अनूठा समाधान है, और घटक \(x_j\), \(j = 1, 2, ..., n\) के साथ गणना की जाती है

\[x_j = \displaystyle \frac{\det(A^j) }{\det(A)}\]

आप एक कैलकुलेटर पर क्रैमर का नियम कैसे करते हैं?

अलग -अलग कैलकुलेटर आपके लिए क्रैमर के नियम का संचालन करेंगे, लेकिन बहुसंख्यक आपको कदम नहीं दिखाएंगे।आउट कैलकुलेटर सभी विवरणों के साथ, सभी चरणों के माध्यम से आपको मार्गदर्शन करेगा।

आप cramer के नियम में 4x4 मैट्रिक्स को कैसे हल करते हैं?

क्रैमर का नियम इतना लोकप्रिय है कि इसका एक कारण यह है कि इसका सूत्रीकरण वास्तव में बहुत अधिक नहीं बदलता है, यदि बिल्कुल भी, अलग -अलग सिस्टम आकारों के लिए।

वास्तव में, 4x4 प्रणाली के लिए Cramer का नियम करना 2x2 प्रणाली के लिए इसे करने से अधिक कठिन नहीं है (इसमें शामिल निर्धारकों की गणना के अलावा अधिक श्रमसाध्य होगा)

अंततः, सिस्टम के आकार की परवाह किए बिना, आप समाधान की गणना करते हैं

\[x_j = \displaystyle \frac{\det(A^j) }{\det(A)}\]

जिसका अर्थ है कि आप मूल मैट्रिक्स लेते हैं, और \(A\) के एक कॉलम को \(b\) द्वारा बदलें और निर्धारकों की गणना करें और उनमें से भागफल ढूंढें।

Ax = b के लिए cramer का नियम कैलकुलेटर कैसे करें

इस संदर्भ में एक्स = बी को हल करना मैट्रिक्स स्तर पर \(Ax = b\) को हल करने के लिए संदर्भित करता है।तो Cramer के नियम का सही उपयोग करने के लिए ट्रिक समीकरणों के दिए गए सिस्टम को सही ढंग से फॉर्म के एक मैट्रिक्स समीकरण में परिवर्तित करना है \(Ax = b\)।

क्रैमर के नियम के उपयोग का उदाहरण

Learturautuni: निम्नलिखित \(3 \times 3\) रैखिक समीकरणों की प्रणाली प्रदान की गई है:

\[ \begin{aligned} 2 x&\, + \, &3 y&\, + \, &4 z & \, = \,1\\2 x&\, + \, &3 y&\, + \, &2 z & \, = \,5\\ x&\, + \, &2 y&\, + \, &8 z & \, = \,2 \end{aligned}\]

सभी चरणों को दिखाते हुए, Cramer के नियम का उपयोग करके उपरोक्त प्रणाली को हल करें।

समाधान:

चरण 1: इसी मैट्रिक्स संरचना का पता लगाएं

पहले चरण में संबंधित मैट्रिक्स \(A\) और वेक्टर \(b\) खोजने के लिए शामिल हैं जो सिस्टम को \(A x = b\) के रूप में लिखने की अनुमति देते हैं।

इस मामले में, और प्रदान किए गए समीकरणों के गुणांक के आधार पर, हम इसे प्राप्त करते हैं

\[ A = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{bmatrix} \]

और

\[ b = \begin{bmatrix} \displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 5\\[0.6em]\displaystyle 2 \end{bmatrix} \]

चरण 2: मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करें

अब, हमें यह जानने के लिए \(A\) के निर्धारक की गणना करने की आवश्यकता है कि हम क्रैमर के नियम का उपयोग कर सकते हैं या नहीं:

उप-निर्धारण सूत्र का उपयोग करके हमें मिलता है:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 3 \cdot \left( 8 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) \right) - 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 8 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) \right) + 4 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(3 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( 20 \right) - 3 \cdot \left( 14 \right) + 4 \cdot \left( 1 \right) = 2\]

चूंकि \(\det(A) = \displaystyle 2 \ne 0\), हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि मैट्रिक्स उल्टा है, और हम क्रैमर के नियम के उपयोग के साथ जारी रख सकते हैं।

चरण 3: समाधान की गणना करना

अब, हमें सूत्र का उपयोग करके प्रत्येक समाधान \(x_j\) की गणना करने की आवश्यकता है:

\[ x_j = \displaystyle \frac{\det(A^j)}{\det(A)}\]

जहां \(A^j\) correponds बिल्कुल मैट्रिक्स \(A\) के अलावा स्तंभ j को \(b\) द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है।

के लिए \(x\):

उप-निर्धारण सूत्र का उपयोग करके हमें मिलता है:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 5&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 3 \cdot \left( 8 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) \right) - 3 \cdot \left( 5 \cdot \left( 8 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) \right) + 4 \cdot \left( 5 \cdot \left( 2 \right) - 2 \cdot \left(3 \right) \right)\] \[ = 1 \cdot \left( 20 \right) - 3 \cdot \left( 36 \right) + 4 \cdot \left( 4 \right) = -72\]

अब हम पाते हैं कि Cramer के सूत्र का उपयोग करना, \(x\) के रूप में गणना की गई है

\[x = \displaystyle \frac{\det(A^{ 1}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 5&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle -72 }{ \displaystyle 2} = -36 \]

के लिए \(y\):

उप-निर्धारण सूत्र का उपयोग करके हमें मिलता है:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 5&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 5 \cdot \left( 8 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) \right) - 1 \cdot \left( 2 \cdot \left( 8 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) \right) + 4 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(5 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( 36 \right) - 1 \cdot \left( 14 \right) + 4 \cdot \left( -1 \right) = 54\]

अब हम पाते हैं कि Cramer के सूत्र का उपयोग करना, \(y\) के रूप में गणना की गई है

\[y = \displaystyle \frac{\det(A^{ 2}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 5&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle 54 }{ \displaystyle 2} = 27 \]

के लिए \(z\):

उप-निर्धारण सूत्र का उपयोग करके हमें मिलता है:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 5\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 3 \cdot \left( 2 \right) - 2 \cdot \left(5 \right) \right) - 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(5 \right) \right) + 1 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(3 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( -4 \right) - 3 \cdot \left( -1 \right) + 1 \cdot \left( 1 \right) = -4\]

अब हम पाते हैं कि Cramer के सूत्र का उपयोग करना, \(z\) के रूप में गणना की गई है

\[z = \displaystyle \frac{\det(A^{ 3}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 5\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 2 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle -4 }{ \displaystyle 2} = -2 \]

इसलिए, और संक्षेप में, समाधान है

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle x\\\\\displaystyle y\\\\\displaystyle z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle -36\\\\\displaystyle 27\\\\\displaystyle -2 \end{bmatrix} \]

जो दिए गए रैखिक प्रणाली के लिए समाधानों की गणना का समापन करता है।