सबसे बड़ा सामान्य भाजक

यह कैलकुलेटर आपके द्वारा दी गई संख्याओं की किसी भी सूची के लिए GCD की गणना करने की अनुमति देगा। यह काम आता है क्योंकि अधिकांश कैलकुलेटर केवल इसके लिए अनुमति देते हैं दो संख्याओं के लिए GCD की गणना करना .

इस कैलकुलेटर में, आपके पास एक तालिका होगी जिसमें आप उन संख्याओं को टाइप या पेस्ट कर सकते हैं जिनके लिए आपको GCD की गणना करनी है। इसमें कम से कम दो संख्याएँ होनी चाहिए। "गणना करें" दबाने के बाद, आपको समाधान की चरण दर चरण गणना प्रदान की जाएगी।

सबसे बड़ा सामान्य भाजक बीजगणित में सीखी जाने वाली सबसे उपयोगी चीजों में से एक है, और इसके कई दिलचस्प उपयोग हैं, जैसे सबसे कम सामान्य भाजक की गणना कई भिन्नों के लिए, कई अन्य उपयोगी संक्रियाओं के बीच जैसे लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना पूर्णांकों की एक सूची का.

सबसे बड़ा सामान्य भाजक क्या है

पूर्णांकों की सूची का GCD वह सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक है जो सूची में दिए गए प्रत्येक पूर्णांक को विभाजित करता है। इसे आमतौर पर सबसे बड़ा कारक माना जाता है जो सूची में सभी संख्याओं में समान होता है।

दूसरी ओर, यदि ऐसा होता है कि पूर्णांकों की सूची में कोई भी कारक समान नहीं है, तो हम निष्कर्ष निकालेंगे कि GCD 1 है। एक और आसान मामला तब होता है जब दी गई सूची में सभी संख्याएं समान होती हैं, ऐसी स्थिति में वह संख्या वास्तव में GCD होती है।

महत्तम सामान्य गुणनखंड कैसे ज्ञात करें

सबसे बड़ा सामान्य कारक एक और नाम है जिसका उपयोग हम सबसे बड़े सामान्य भाजक के लिए करते हैं। गणना का विचार सरल है: दिए गए प्रत्येक पूर्णांक के लिए, आपको इसका प्रमुख अपघटन ज्ञात करें .

फिर आप देखते हैं कि कौन से अभाज्य संख्याएँ सभी पूर्णांकों के लिए समान हैं, और आप उनके संगत अपघटन राशि में न्यूनतम घातांक पाते हैं। अंत में, आप सामान्य अभाज्य संख्याओं को बढ़ाकर न्यूनतम घातांक तक गुणा करते हैं, यदि कोई हो।

यदि आरम्भ में कोई उभयनिष्ठ अभाज्य संख्या न हो, तो महत्तम समापवर्तक 1 होगा।

जी.सी.डी. प्राप्त करने के चरण

कई बार यह मददगार होता है कि कदमों की एक स्पष्ट और कार्यान्वयन योग्य सूची बना दी जाए:

• स्टेप 1: दी गई संख्याओं की सूची पहचानें और सुनिश्चित करें कि वे पूर्णांक हैं
• चरण दो: यदि कोई पूर्णांक 0 है, तो GCD परिभाषित नहीं है। साथ ही, आप 1 से बड़े पूर्णांकों पर भी विचार करेंगे
• चरण 3: 1 से बड़े प्रत्येक पूर्णांक के लिए, आप उसका मान ज्ञात करेंगे मुख्य गुणनखंड प्रक्रिया
• चरण 4: आपको ऐसे अभाज्य संख्याएँ ढूँढ़ने की ज़रूरत है जो सभी गुणनखंडों में समान हों। आपकी सूची के सभी पूर्णांकों में आने वाले प्रत्येक अभाज्य के लिए, आप घातांक लिखेंगे, और उनमें से प्रत्येक घातांक का न्यूनतम मान निकालेंगे
• चरण 5: अंत में, GCD की गणना सभी सामान्य अभाज्य संख्याओं को एक साथ गुणा करके की जाती है, जिसे चरण 4 में पाए गए संगत न्यूनतम घातांक तक बढ़ाया जाता है

गणना कभी-कभी लंबी हो सकती है, खासकर बड़े पूर्णांकों के लिए, जिस स्थिति में अभाज्य अपघटन थोड़ा थकाऊ हो सकता है। जीसीएफ सॉल्वर इससे आपके लिए चीजें बहुत आसान हो जाएंगी.

आपको सबसे बड़े सामान्य कारक की क्या आवश्यकता है?

बीजगणित में सबसे बड़े सामान्य कारक के बहुत सारे व्यावहारिक उपयोग हैं। एक ओर, यह बीजगणित में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। कारक एक अभिव्यक्ति , या इसे इसकी निम्नतम, सरलतम अभिव्यक्ति तक ले जाएं।

फैक्टरिंग विशेष रूप से तब उपयोगी होती है जब आपको एक समीकरण हल करें , क्योंकि कारक ढूंढ़ने से आपने समीकरण को हल करने की समस्या को प्रभावी रूप से छोटे-छोटे टुकड़ों में तोड़ दिया है।

फिर, निम्नलिखित का उपयोग करते हुए, \(n\) संख्याओं \(k_1, k_2, ..., k_n\) की सूची का लघुत्तम समापवर्त्य निकालने के लिए GCD (उर्फ GCF) का उपयोग किया जाएगा एलसीएम सूत्र :

\[LCM(k_1, k_2, ..., k_n) = \displaystyle \frac{k_1 \cdot k_2 \cdots k_n}{GCD(k_1, k_2, ..., k_n)}\]

जैसा कि आप ऊपर दिए गए सूत्र से देख सकते हैं, CGD LCM की गणना करने के लिए एक शॉर्टकट देता है, क्योंकि आपको बस संख्याओं के गुणनफल की गणना करनी है और उसे GCD से विभाजित करना है।

जीसीडी गणना उदाहरण

संख्या 70, 210 और 336 के लिए महत्तम समापवर्तक की गणना करें।

समाधान: महत्तम सार्व भाजक (GCD) की गणना करने के लिए आवश्यक पहला चरण 70, 210 और 336 से प्राप्त सभी संख्याओं के अभाज्य अपघटन की गणना करना है।

\[70 = 2 \cdot 5 \cdot 7\] \[210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7\] \[336 = 2^4 \cdot 3 \cdot 7\]

ऊपर दर्शाए गए विघटन से, GCD ज्ञात करने का सबसे आसान तरीका निम्नलिखित है:

• सबसे पहले सभी दी गई संख्याओं में उभयनिष्ठ अभाज्य संख्याएँ ज्ञात कीजिए
• फिर, सभी संख्याओं में उस अभाज्य संख्या के लिए न्यूनतम घातांक ज्ञात करें
• प्रत्येक के लिए पाए गए न्यूनतम घातांक तक बढ़ाए गए सामान्य अभाज्य संख्याओं को गुणा करें, ताकि GCD प्राप्त हो सके
• इसके अलावा, यदि कोई सामान्य अभाज्य संख्या नहीं है, तो हम निष्कर्ष निकालेंगे कि CGD = 0

निम्नलिखित अभाज्य संख्याएँ पाई जाती हैं, तथा उन्हें सभी अभाज्य विघटनों में पाई जाने वाली न्यूनतम घात के साथ सूचीबद्ध किया गया है:

• सामान्य अभाज्य संख्या = 2, न्यूनतम घातांक = \(\min\{1,1,4\} = 1\)

• सामान्य अभाज्य संख्या = 7, न्यूनतम घातांक = \(\min\{1,1,1\} = 1\)

सामान्य अभाज्य संख्याओं और उनके न्यूनतम घातांकों को गुणा करके, हम GCD की गणना निम्न प्रकार करते हैं:

\[GCD(70,210,336) = 2^1 \cdot 7^1 = 14 \]

इससे दी गई सूची के सबसे बड़े सामान्य भाजक (GCD) की गणना पूरी हो जाती है।

अन्य उपयोगी बीजगणित कैलकुलेटर

आप बीजगणित कैलकुलेटर के एक बड़े चयन में से चुन सकते हैं, जब आपको सहायता की आवश्यकता हो एक अंश को सरल बनाना या जब आपको आवश्यकता हो अंश को प्रतिशत में परिवर्तित करें .

इसके अलावा, प्रतीकात्मक संचालन के लिए, आप में रुचि हो सकती है सामान्य अभिव्यक्ति को सरल बनाना कदम, या विभिन्न प्रकार के दिखा रहा है बहुपद कैलकुलेटर .