الجبر دروس

دائرة الوحدة

ال دافرة الدة هي واحدة من أكثر الكائنات المعروفة في الرياضيات , وهي مستعرضة للغاية عبر العديد من موضوعات الرياضيات , بما في ذلك الجبر والتكامل والهندسة وعلم المثلثات.

في الواقع , تعد دائرة الوحدة واحدة من "المختبرات" الأكثر استخدامًا لفهم العديد من مفاهيم الرياضيات.تعبر دائرة الوحدة الجبر (مع معادلة الدائرة) , والتكامل (مع المنحدرات , وخطوط الظل والمناطق) , والهندسة (مع الزوايا , والمثلثات ونظرية فيثاغور) وعلم المثلثات (الجيب , جيب التمام , الظل) في مكان واحد.

ما هي دائرة الوحدة؟

يقول الاسم بوضوح: دائرة الوحدة هي دائرة من نصف قطر \(r=1\), والتي من المفترض أن تتمحور في الأصل \((0, 0)\).لاحظ أننا نتحدث عن الحالة ثنائية الأبعاد.

زوايا ودائرة الوحدة

دائرة الوحدة , أو دائرة من أي دائرة نصف قطرها , هي وسيلة عملية للغاية للعمل مع الزوايا.دعنا نتذكر أن مقياس الزاوية يتناسب مع كمية محيط الدائرة التي تمتد الزاوية.

على سبيل المثال , إذا كانت الزاوية تمتد على ربع محيط , وأصلها هو نفسه مركز الدائرة , فإن مقياس الزاوية هو ربع مقياس الزاوية الكاملة , وهو 360/4 = 90 ^س إذا تم قياسها بالدرجات , أو \(2\pi/4 = \pi/2\) إذا تم قياسها بالراديان

هناك ظروف أخرى لا يكون فيها أصل الزاوية هو نفسه مركز الدائرة , كما هو الحال في حالة الرسم البياني أدناه:

وظائف المثلثية ودائرة الوحدة

يعد استخدام دائرة الوحدة مفيدًا للغاية للعمل مع وظائف Trigonometric.في الواقع , اتضح أنه إذا كان لدينا نقطة \((x,y)\)في دائرة مع RADIUS \(r\), فعندئذ لدينا ذلك

\[\large \sin \alpha = \frac{y}{r}\] \[\large \cos \alpha = \frac{x}{r}\] \[\large \tan \alpha = \frac{y}{x}\]

حيث \(\alpha\) هي الزاوية الموضحة في الشكل أدناه:

ولكن عندما يكون \(r = 1\), هذا هو , عندما يكون نصف القطر 1 (وهو الحال في دائرة الوحدة) , نجد ذلك

\[\large \sin \alpha = y \] \[\large \cos \alpha = x \] \[\large \tan \alpha = \frac{y}{x}\]

لذلك , تكون العملية ذات الوظائف المثلثية أسهل بكثير عندما يكون نصف قطر الدائرة 1 , ثم يصبح كل شيء أكثر بصرية.ويمكننا استخدام قواعد ذاكري مثل "جيب الزاوية هو الجانب الآخر" و "جيب التمام للزاوية هو الجانب المجاور".

معادلة دائرة الوحدة

لذا , فإن السؤال الكبير هو , ما هي صيغة دائرة الوحدة؟بالنسبة لدائرة وحدة تتمحور في الأصل , فإن المعادلة التي ترضيها أي نقطة \((x, y)\) عليها هي:

\[\large x^2 + y^2 = 1\]

أي زوج \((x, y)\) ينتمي إلى دائرة نصف قطرها 1 يجب أن ترضي ما سبق.إذا كانت النقطة \((x, y)\) لا ترضي ما سبق , فهذا لا ينتمي إلى الدائرة.

ما هي صيغة دائرة الوحدة بشكل عام؟

الصيغة أعلاه هي مجرد أبسط حالة لدائرة الوحدة المتمركزة في الأصل.عندما ترغب في حساب صيغة الدائرة بشكل عام , بالنسبة إلى وحدة الوحدة المتمركزة في \((x_0, y_0)\), نحتاج إلى استخدام الصيغة التالية:

\[\large (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = 1\]

لهذه الحالة الأكثر عمومية , يمكنك استخدام هذا حaSbة maudalة الدازرة , مما يوضح لك جميع الخطوات حول كيفية الوصول إلى صيغة الدائرة من معادلة تربيعية مناسبة.

كيف تحفظ دائرة الوحدة بسرعة؟

على الرغم من أنه ليس ضروريًا تمامًا , إلا أنه قد يكون مفيدًا لحفظ الزوايا البارزة من دائرة الوحدة.مع سهولة الوصول إلى الآلات الحاسبة العلمية , فإنه يشعر ببعض التمرين غير الضروري , لكنه بالتأكيد يساعد على فهمك لدائرة الوحدة من خلال القيام بذلك.

بطبيعة الحال , لن تكون قادرًا على تعلم جميع الزوايا البارزة (أو ربما يمكنك) , ولكن على الأقل من الجيد معرفة أبرز المضاعفات \(\pi\), مثل \(\frac{\pi}{2}\), \(\frac{\pi}{3}\),\(\frac{\pi}{4}\), إلخ.

لماذا يسمى دائرة الوحدة؟

الإجابة على هذا بسيطة: يطلق عليها دائرة الوحدة لأنها أولاً وقبل كل شيء دائرة , وثانياً , لها دائرة نصف قطرها 1. لذلك ودي أو الهادي جزء يأتي من حقيقة أن نصف القطر هو 1.

في الجبر والتكامل والهندسة التحليلية , هناك حاجة إلى استخدام "الوحدة" المؤهلة , لأن جميع الدوائر لا تتعامل مع دوائر وحدة بالفعل.في علم المثلثات , عندما تذكر دائرة , عادة ما تتحدث افتراضيًا عن دائرة الوحدة , ما لم يتم تحديدها صراحة.