المزيد عن هذا الحاسبة المصفوفة العامل.

ترتبط العوامل المساعدة ارتباطًا وثيقًا بعكس المصفوفة , وهي تنطلق من طrieقة mجaorة اعتاد حSAB عسب (عندما يكون موجودًا).

ربما دون معرفة , لقد تعاملت مع العوامل المساعدة عند حساب أ مجدد الملمس من 3 × 3 أو أكبر.لذلك , كما تشك في ذلك , فإن العوامل المساعدة تتعلق بالمحددات التي تم الحصول عليها عند إزالة صف واحد وعمود واحد.

كيف تجد العامل المساعد للمصفوفة؟

أول شيء هو حساب مصفوفة القصر.لذلك , بالنسبة لمصفوفة n x n معينة \(A\) , فإن العنصر في الصف i-th والعمود j-th من مصفوفة القصر يساوي المحدد للمصفوفة الفرعية التي تشكلت عن طريق إزالة الصف i-th و j-العمود من المصفوفة المحددة \(A\).

لذا , إذا اتصلنا \(A[i,j]\) بالمصفوفة الفرعية التي تم الحصول عليها عن طريق إزالة الصف I-th والعمود J-th من \(A\) , نحدد رسميًا مصفوفة القاصرين , << xyzc> as:

\[ M_{ij} = \det A[i,j]\]

لاحظ أنه إذا كان \(A\) مصفوفة n x n , فإن \(M\) هي n x n أيضًا.

إذن , ما هي مصفوفة العامل المساعد؟

اوشكت على الوصول.وبالتالي فإن القاصرين هي المصفوفة التي تحتوي على كل هذه المحددات من الأدوات الفرعية المقابلة التي تم الحصول عليها عن طريق حذف صف واحد وعمود واحد.العامل المساعد هو ذلك تقريبًا , باستثناء أنك تضيف علامة (إيجابية أو سلبية) , اعتمادًا على I و J.

في الواقع , يتم تعريف مصفوفة العامل المساعد , \(C\) على النحو التالي:

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} = (-1)^{i+j} \det A[i,j]\]

هذا يشبه إلى حد كبير ما تستخدمه عند حساب المحددات , هاه؟لذلك , من أجل حساب مصفوفة العامل المساعد , تحتاج إلى ذلك حstab mجmouة من وبعد

كيفية استخدام حاسبة مصفوفة العامل المساعد هذه بخطوات

من أجل استخدام حاسبة العامل المساعد هذه , كل ما عليك فعله هو توفير المصفوفة \(A\).ستقوم الآلة الحاسبة بتوجيهك خلال عملية حساب القصر والعلامات للوصول إلى العوامل المساعدة.

مثال على حساب مصفوفة العامل المساعد

سؤال: افترض أن لديك المصفوفة التالية

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{bmatrix} \]

الملم: نحتاج إلى حساب مصفوفة العامل المساعد لمصفوفة \(3 \times 3\) التي تم توفيرها.

أولا نحسب مصفوفة القصر.لدينا , بحكم التعريف , مصفوفة القصر \(M\) محددة بواسطة الصيغة

\[ M_{ij} = \det A^{i,j}\]

حيث في هذه الحالة \( A^{i,j}\) هي المصفوفة \(A\) بعد حذف الصف \(i\) والعمود \(j\).

لذلك , وبناءً على المصفوفة \(A\) شريطة أن نحصل على المعاملات التالية لمصفوفة القصر:

لـ \(A^{ 1, 1}\):

\[M_{ 1 1} = \det A^{ 1 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 3 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 5\]

لـ \(A^{ 1, 2}\):

\[M_{ 1 2} = \det A^{ 1 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 3\]

لـ \(A^{ 1, 3}\):

\[M_{ 1 3} = \det A^{ 1 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(3 \right) = -1\]

لـ \(A^{ 2, 1}\):

\[M_{ 2 1} = \det A^{ 2 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 3\]

لـ \(A^{ 2, 2}\):

\[M_{ 2 2} = \det A^{ 2 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

لـ \(A^{ 2, 3}\):

\[M_{ 2 3} = \det A^{ 2 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = -1\]

لـ \(A^{ 3, 1}\):

\[M_{ 3 1} = \det A^{ 3 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 3&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 3 \cdot \left(1 \right) = -1\]

لـ \(A^{ 3, 2}\):

\[M_{ 3 2} = \det A^{ 3 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(1 \right) = -1\]

لـ \(A^{ 3, 3}\):

\[M_{ 3 3} = \det A^{ 3 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 3 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) = -1\]

ملخص , مصفوفة القصر هي:

\[M = \begin{bmatrix} \displaystyle 5&\displaystyle 3&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle 3&\displaystyle 1&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -1&\displaystyle -1 \end{bmatrix} \]

الآن , يمكننا حساب عناصر مصفوفة العامل المساعد \(C\) باستخدام الصيغة

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\]

يمكن استخدام الصيغة أعلاه مباشرة لأن القاصرين معروفين بالفعل.نحن نحصل

\[ C_{ 1 1} = (-1)^{ 1+1} \cdot 5 = (-1)^{ 2} \cdot 5 = 5\] \[C_{ 1 2} = (-1)^{ 1+2} \cdot 3 = (-1)^{ 3} \cdot 3 = -3\] \[C_{ 1 3} = (-1)^{ 1+3} \left(-1\right)= (-1)^{ 4} \left(-1\right) = -1\] \[C_{ 2 1} = (-1)^{ 2+1} \cdot 3 = (-1)^{ 3} \cdot 3 = -3\] \[C_{ 2 2} = (-1)^{ 2+2} \cdot 1 = (-1)^{ 4} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 2 3} = (-1)^{ 2+3} \left(-1\right)= (-1)^{ 5} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 1} = (-1)^{ 3+1} \left(-1\right)= (-1)^{ 4} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 2} = (-1)^{ 3+2} \left(-1\right)= (-1)^{ 5} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 3} = (-1)^{ 3+3} \left(-1\right)= (-1)^{ 6} \left(-1\right) = 1\]

ملخص , مصفوفة العامل المساعد هي:

\[C = \begin{bmatrix} \displaystyle 5&\displaystyle -3&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle -3&\displaystyle -1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

الذي يختتم الحساب.